Лінійні, квадратні, раціональні рівняння

Множимо на 4 обидві частини:

$$4\cdot\frac{3x}{4}-4\cdot\frac{x}{2}=4\cdot1$$

$$3x-2x=4$$

$$x=4$$

Множимо на 6 обидві частини:

$$6\cdot\frac{5x}{3}+6\cdot\frac{2x}{6}=6\cdot1$$

$$10x+2x=6,\ \Longrightarrow\ \ 12x=6$$

$$x=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}=0,5$$

Множимо на 10 обидві частини:

$$10\cdot\frac{x}{2}+10\cdot\frac{2x}{5}=10\cdot0,45$$

$$5x+4x=4,5,\ \Longrightarrow\ \ 9x=4,5$$

$$x=\frac{4,5}{9}=\frac{1}{2}=0,5$$

Множимо на 10 обидві частини:

$$10\cdot\frac{4x}{5}-10\cdot\frac{3x}{10}=10\cdot0,2$$

$$8x-3x=2,\ \Longrightarrow\ \ 5x=2$$

$$x=\frac{2}{5}$$

Множимо на 6 обидві частини:

$$6\cdot\frac{5x-3}{3}=6\cdot\frac{x+1}{2}$$

$$2(5x-3)=3(x+1),\ \Longrightarrow\ \ 10x-6=3x+3$$

$$10x-3x=3+6,\ \Longrightarrow\ \ 7x=9$$

$$x=\frac{9}{7}$$

Множимо на 4 обидві частини:

$$4\cdot\frac{x-1}{2}=4\cdot\frac{3x+5}{4}$$

$$2(x-1)=3x+5,\ \Longrightarrow\ \ 2x-2=3x+5$$

$$-2-5=3x-2x$$

$$-7=x$$

$$D=b^2-4ac=3^2-4\cdot2\cdot\left(-4\right)=9+32=41>0$$ $$D<0\ \Longrightarrow\ немає\ дійсних\ коренів$$

$$D=0\ \Longrightarrow\ корінь\ один$$

$$D>0\ \Longrightarrow\ коренів\ два\ \left(це\ відповідь\right)$$

$$D=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0$$ $$D=0\ \Longrightarrow\ корінь\ один$$

Відповідь: 1 корінь

З умови випливає, що рівняння має дійсні корені! Будь уважним у подальшому...

Оскільки старший коефіцієнт $$a=1$$ , то згідно теореми Вієта $$x_1\cdot x_2=c=-25$$

$$a\ne1$$ , теорему Вієта не можна застосувати.

Ділимо обидві частини на 3: $$\frac{3}{3}x^2-\frac{12}{3}x-\frac{7}{3}=\frac{0}{3}$$

Маємо $$x^2-4x-\frac{7}{3}=0,$$ тепер $$a=1$$ .

За теоремою Вієта $$x_1+x_2=-b=-\left(-4\right)=4$$