ตัวบ่งปริมาณ

ตัวบ่งปริมาณ

หมายถึง

สัญลักษณ์หรือข้อความที่เมื่อเราเอาไปเติมใน “ประโยคเปิด” แล้วจะทำให้ประโยคนั้นกลายเป็น "ประพจน์"

เราสามารถทำประโยคเปิดให้เป็น “ประพจน์” ได้ 2 วิธี คือ

1. นำสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ แทนค่าตัวแปรลงไป (นักเรียนเคยเรียนไปแล้ว)

2.) เติม “ตัวบ่งปริมาณ” ซึ่งมีอยู่ 2 ชนิด คือ

2.1) ∀x (อ่านว่า for all x) ใช้แทนคำว่า “สำหรับ x ทุกตัว” คำที่มีความหมายเดียวกับ ∀x ที่เราเห็นกันบ่อยๆ เช่น สำหรับ x ใดๆ, สำหรับ x แต่ละตัว

2.2) ∃x (อ่านว่า for some x)ใช้แทนคำว่า “มี x บางตัว” คำที่เรามักเจอและมีความหมายเหมือน ∃x เช่น มี x อย่างน้อย 1 ตัว

วิธีการเขียนตัวบ่งปริมาณ

เราจะให้ P(x) แทนประโยคเปิด เราจะใช้สัญลักษณ์ ∀xP(x) และ ∃xP(x) 

ตัวอย่างการเติมตัวบ่งปริมาณ

∀x[x+x=2x]

อ่านว่า "สำหรับ x ทุกตัว x บวก x เท่ากับ 2x"

∃x[(x=0)→(x²>0)]

อ่านว่า "มี x บางตัว ซึ่งถ้า x เท่ากับ 0 

แล้ว x² มากกว่า 0"

ค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ

การพิจารณาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณนั้น ต้องพิจารณาจากเอกภพสัมพัทธ์ โดยมีวิธีการพิจารณาดังนี้

สรุปเทคนิคการหาค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ

∀x[P(x)] ให้พยายามหา x ที่เอามาแทนใน P(x)

แล้วเป็นเท็จ ถ้าเจอเพียงตัวเดียวก็สรุปได้เลยว่าเท็จ

∃x[P(x)] ให้พยายามหา x ที่เอามาแทนใน P(x)

แล้วเป็นจริง ถ้าเจอเพียงตัวเดียวก็สรุปได้เลยว่าจริง

ตัวอย่างการหาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ

1.) ∃x[2x ≥ 10] และ U= {1,3,5,7,9}

จากโจทย์ หมายความว่า แทน x บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ใน 2x ≥ 10

สรุปว่า ประพจน์นี้เป็นจริง เพราะสำหรับ for some แทน x 1 ตัว ทำให้ประพจน์เป็นจริง ถือว่าเป็นจริง

2.) ∀x[x² + 2x – 8 = 0] และ U = {-4, 2}

จากโจทย์ จะได้ว่า ∀x[x² + 2x – 8 = 0] หมายความว่า x ทุกตัวใน U ทำให้สมการ x² + 2x – 8 = 0 เป็นจริง

สรุปว่า ประพจน์นี้เป็นจริง เพราะสำหรับ for all ต้องแทน x 1 ตัว ที่ทำให้ประพจน์เป็นเท็จ ซึ่งไม่มี ถือว่าประโยคเปิดเป็นจริง

3. ∀x[x≥1]  เมื่อ U={0,1,2,3,4}

แทนค่า x=0 จะได้ว่า 0≥1เป็นเท็จ

ดังนั้น เราสรุปได้เลยว่าประพจน์นี้เป็นเท็จ เพราะสำหรับ for all นั้น x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์จะต้องทำให้ P(x)

เป็นจริง ประพจน์จึงจะเป็นจริง

4. ∃x[x²+1=(x+1)²]

เมื่อ U คือเซตของจำนวนจริง

แทนค่า x = 0

เป็นจริง เราสรุปได้เลยว่าประพจน์นี้เป็นจริง เพราะสำหรับ for some นั้น ขอแค่มี x

x เพียงตัวเดียวในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x)

P(x) เป็นจริง ประพจน์ก็จะเป็นจริงแล้ว

5. ให้ P(x) แทน 2x ≥ 10 และ U= {1,3,5,7,9}

6. ∀x[x < 0] เมื่อ u = เซตของจำนวนเต็ม

นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ