SAYMA VE OLASILIK

SAYMA VE OLASILIK

MEHMET ZAHİT ÖZKAN

SAYMA VE OLASILIK

• Saymanın Temel İlkeleri

• Permutasyon

• Tekrarlı ve Dairesel Permutasyon

• Kombinasyon

• Geometrik Kombinasyon

• Binom Açılımları

• Olasılık Fonksiyonu

TOPLAMA YOLUYLA SAYMA

Ayrık n tane işlemden birincisi a₁ farklı şekilde, ikincisi a₂

farklı şekilde ve n.’si a_n farklı şekilde gerçekleşiyor ise bu n

tane işin hepsi birden

a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n

farklı biçimde gerçekleşir.

Rıdvan'ın pantalon giymesine A olayı, eşofman giymesine B olayı diyelim.3 farklı pantolon olduğuna göre, A olayı 3 farklı şekilde 4 farklı eşofman olduğuna göre B olayı 4 farklı şekilde gerçekleşir.

Toplama ilkesine göre bu iki olaydan biri 3+4=7 farklı şekilde gerçekleşir.

Multiple Choice

A kentinden B kentine 40 farklı karayolu ve 20 farklı demiryolu vardır. A'dan B' ye gitmek isteyen birinin kaç farklı seçeneği vardır?

• 12

• 60

• 80

• 800

• 40²⁰

Multiple Choice

 $\left|x+1\right|<2012$  eşitsizliğini sağlayan kaç farklı tamsayı vardır?

• 4021

• 4022

• 4023

• 4024

• 4025

ÇARPMA YOLUYLA SAYMA

Ayrık n tane işten birincisi a₁ farklı şekilde, ikincisi a₂ farklı

şekilde ve n.’si a_n farklı şekilde gerçekleşiyor ise, bu n tane

için hepsi birden

a₁ · a₂ · … · a_n

farklı şekilde yapılabilir.

Örnek

Bir okulda 12 sınıf ve her sınıfta 16 öğrenci bulunduğuna göre bu

okulun kaç öğrencisi vardır?

SAYMANIN TEMEL PRENSİBİ

A_1, A₂, ..., A_n kümeleri için;

s(A₁) = k₁, s(A₂) = k₂, ..., s(An) = k_n olsun.

x₁ ∈ A₁, x₂ ∈ A₂, ..., x_n ∈ An olmak üzere,

(x₁, x₂, ..., x_n) biçimindeki farklı sıralı n-lilerin sayısı

s(A₁ x A₂ x ... x A_n) = s(A₁) . s(A₂) ... s(A_n) = k₁ . k₂ ... k_n dir.

Bunu şu şekilde yorumlayalım:

Birbirinden farklı n tane işin gerçekleşmesinde,

Birinci işin gerçekleşmesi için k₁ tane yol, ikinci işin gerçekleşmesi

için k₂ tane yol . . . n inci işin gerçekleşmesi için k_n tane yol varsa,

n tane işin sıralı şekilde gerçekleşmesi için k₁.k₂ . . . k_n tane farklı

yol vardır.

Örnek:

• Adana'dan İstanbul'a kaç farklı gidiş seçeneği vardır?

• İstanbul'dan Adana'ya kaç farklı dönüş seçeneği vardır?

• Adana'dan İstanbul'a kaç farklı gidiş-dönüş seçeneği vardır?

• Adana'dan İstanbul'a giden bir aracın, Adana'ya dönerken daha önceden kullandığı yolu kullanmamak üzere kaç farklı dönüş seçeneği vardır?

Matematikçiler üçe ayrılır:

Sayı saymayı bilenler ve bilmeyenler!

Mustafa YAĞCI

FAKTÖRİYEL (ÇARPANSAL)

n pozitif doğal sayı olmak üzere, 1’den n’ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel (çarpansal) denir ve n! şeklinde gösterilir.

0! = 1 (Kabul edilir.)

1! = 1

2! = 2 · 1 = 2

3! = 3 · 2 · 1 = 6

n! = n(n – 1) · (n – 2) … 1

n! = n(n – 1) · (n – 2)! şeklinde yazılabilir.