Propoziții. Predicate. Cuantificatori

Mulțimi și elemente de logică matematică

Propoziții. Predicate

Definiție

Se numește propoziție, în sensul logicii matematice, un enunț care este adevărat sau care este fals.

Se dau enunțurile:

• 1) „Diagonalele rombului sunt perpendiculare”

• 2) „Numărul 7 este număr prim”

• 3) „ $4-4\cdot3+5=5$  ” 

• 4) „ $-5\in\left(\mathbb{Z}-\mathbb{N}\right)$  ”

• 5) „Cât este ceasul?”

Observație

Pentru notarea propozițiilor se vor folosi literele p, q, r, s, ... sau p₁ , p₂ , p₃ , .....

Definiție

Proprietatea unei propoziții „p” de a fi adevărată sau de a fi falsă se numește valoare de adevăr a propoziției p și se notează cu v(p).
Notație:

 $v\left(p\right)=1$  , pentru p adevărată

 $v\left(p\right)=0$  , pentru p  falsă
Sau :
 $v\left(p\right)=A$  , pentru p  adevărată
 $v\left(p\right)=F$  , pentru p falsă

Exemple:

1) p : „ $2145\ este\ divizibil\ cu\ 3$  ”
    v(p) = 1

2) q : „ Triunghiul isoscel are toate laturile congruente”

    v(q) = 0

Multiple Choice

Stabilește valoarea de adevăr a propoziției:
p : „ $1000-100:10+10=100$  ” 

•  $v\left(p\right)=0$  

•  $v\left(p\right)=1$  

Multiple Choice

Stabilește valoarea de adevăr a propoziției:

q : „ $\sqrt{144}\in\mathbb{Q}$  ”

•  $v\left(q\right)=F$  

•  $v\left(q\right)=A$  

Exerciții

E3/pag.33 (manual)

Definiție

Predicatul este un enunț care conține una sau mai multe variabile și care, pentru anumite valori atribuite variabilelor, corespunde unei propoziții adevărate sau false.

Notații:

• p(x) - predicat unar

• p(x,y) - predicat binar

• p(x,y,z) - predicat ternar

Exemple :

•  $p\left(x\right):\ „2x^2-3x+1=0,\ x\in\mathbb{R}”$  (predicat unar)

•  $p\left(x.y\right):\ „\left(x+1\right)\left(y+2\right)=6,\ x,y\in\mathbb{Z}”$  (predicat binar)

•  $p\left(x,y,z\right):\ „x^2+y^2=z^2,\ x,y,z\in\mathbb{R}”$  (predicat ternar)

Definiții :

1) Mulțimea D în care variabilele iau valori se numește domeniu de definiție sau universul predicatului .

2) Submulțimea mulțimii D ce conține toate valorile pentru care predicatul se transformă într-o propoziție adevărată se numește mulțimea de adevăr a predicatului și se notează cu A.

Exemplu :
Fie  $p\left(x\right):\ „2x^2-3x+1=0,\ x\in\mathbb{R}”$   

•  $D=\mathbb{R}$  (domeniul de definiție)

•  $a=2,\ b=-3,\ c=1$  

   $\Delta=b^2-4ac=1\ ;$   $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1}{2}\ ;$   $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=1$  

•  $A=\left\{\frac{1}{2};\ 1\right\}$  (mulțimea de adevăr)

Multiple Choice

Stabiliți domeniul de definiție și mulțimea de adevăr pentru predicatul :

 $p\left(x\right):\ „x^2-x-2=0,\ x\in\mathbb{Z}”$  

•  $D=\mathbb{R},\ \ A=\left\{-2;\ 1\right\}$  

•  $D=\mathbb{R},\ \ A=\left\{-1;\ 2\right\}$  

•  $D=\mathbb{Z},\ A=\left\{-1;2\right\}$  

•  $D=\mathbb{Z},\ A=\left\{-2;\ 1\right\}$