Lineære funktioner

Lineære funktioner

Hvad er en lineær funktion?

En funktion beskriver sammenhængen mellem to ting. Fx sammenhængen mellem prisen på en taxatur og antal kørte kilometer, hvor det koster 50 kr. at koste sig ind i taxaen og 10 kr. per kørt kilometer.

Det betyder, at hver kilometer koster 10 kr., og hver kilometer svarer til x. Det betyder, at når x (Kilometer) stiger med en, stiger y med 10 (Pris).

Multiple Choice

Hvad beskriver en lineær funktion?

• Sammenhængen mellem to ting

• Sammenhængen mellem flere ting

• En funktion uden sammenhæng

Variabler

De størrelser, der er en sammenhæng mellem, og man vil lave en funktion om, kaldes variable. Det gør de, fordi de kan ændre sig.

De to variable, der indgår i en sammenhæng kaldes henholdsvis uafhængig og afhængig.

Den uafhængige variable har vi lov at bestemme over, og det er x. Den afhængige variable bliver bestemt af funktionen.

Multiple Choice

Hvad kaldes den uafhængige variabel også?

• f(x)

• y

• a

• x

Et andet eksempel

Et andet eksempel kunne være en kop varm te, der med tiden bliver koldere med tiden. Altså en sammenhæng mellem tid og temperatur, hvor teens temperatur afhænger af tiden, hvilket betyder at tiden er x, da den er uafhængig, da tiden ikke afhænger af temperaturen.

Funktionsforskrift

De lineære funktioner ser ud på en bestemt måde. Sammenhængen mellem x og y er:

y=a⋅x+b

a og b er to konstanter.

a bestemmer noget om hældningen på funktionens graf (hvor stejlt den vokser/aftager). Det er altså samtidig den afhængige variabel

b bestemmer noget om, hvor på y

y-aksen grafen starter.

Multiple Choice

Hvad er forskriften for en lineær funktion?

• f(x) = a^x + b

• f(x) = ax + b

• f(x) = bx + a

Te-eksemplet igen

Hvis vi nu vender tilbage til eksemplet med teen fra tidligere og skal bestemme forskriften. Vi ved at tiden er den uafhængige variabel, altså x og temperaturen er den afhængige, da den afhænger af tiden. Det er a.

Vi ved, at temperaturen starter på 100 grader, da det er vands kogepunkt. Det betyder, at 100 er lig med b, da det er her den skærer y-aksen og efter 0 minutter er teen 100 grader.

For at bestemme a skal vi finde ud af, hvor meget temperaturen falder per minut. Her har vi lavet nogle beregninger og har fundet ud af, at temperaturen falder 2 grader per minut. Det betyder, at efter 1 minut vil temperaturen være 98 grader.

Funktionsforskriften

Da vi ved, at b er lig med 100 og a er lig med -2, da temperaturen falder, betyder det at vores forskrift kommer til at se sådan her ud, hvor vi sætter tallene ind på a og b plads:

f(x) = ax + b

f(x) = -2x + 100

Hvor mange grader er teen efter 10 minutter?

For at bestemme dette kan vi fx lave et skema

b = 100

x y

0 100

2 96

4 92

6 88

8 84

10 80

Lad os lige se det som graf...

Så hvordan finder man så forskriften fremover?

Det kommer an på forskellige ting... hvis man har en graf, så skal man aflæse, hvor meget grafen stiger eller falder med, når man går 1 hen på x-aksen, og hvor den skærer y-aksen.

Eksempel

Sådan en graf kunne man møde, og her har eleven allerede fundet ud af, at grafens stiger med 2 og skærer y-aksen i 2.

Hvad nu hvis, man får informationer....

Man kunne fx blive stillet opgaven:

Du er i slikbutikken for at blande slik. Prisen er 8 kr. pr. 100 gram, og så betaler man 2 kr. for posen.

Nu skal vi så finde ud af, hvad der er den afhængige og uafhængige variabel...

Multiple Choice

Hvilken variabel er den uafhængige?

• Prisen på slik

• Slik per 100 gram

Næste step

Okay, så vi fandt ud af, at prisen afhænger af, hvor mange 100 gram vi har købt og derfor er gram vores uafhængige variabel. Fx koster det os mere, hvis vi køber 200 gram end 100 gram, hvorimod hvor mange gram slik vi køber afhænger ikke af prisen.

Sagt på en anden måde. Antal gram bestemmer altså prisen.

Det betyder, at når vi har købt 100 gram koster det os 8 kr. Det betyder, at når vi har købt 100 gram stiger x-aksen med 1 og y-aksen stiger med 8. Altså vores afhængige variabel, der er lig med a.

Multiple Choice

Hvad er a lig med i vores funktionsforskrift?

• 1

• 2

• 8

• 100

Næste step

Du er i slikbutikken for at blande slik. Prisen er 8 kr. pr. 100 gram, og så betaler man 2 kr. for posen.

Okay, så nu har vi bestemt, at x er lig med gram og a er lig med 8. Det vil sige, at vi har udfyldt 2/3 af vores funktionsforskrift.

f(x) = ax + b

Altså:

f(x) = 8x + b

Men hvad er b så lig med? Er der et beløb, vi bestemmer til at starte med, som ikke er afhængig af, hvor mange gram slik vi køber?

Multiple Choice

Hvad er b-værdien lig med?

• 1

• 100

• 2

• 8

Nu har du lavet en funktionsforskrift!

Ja, de 2 kr. vi betaler for posen er nemlig b-værdien, for teknisk set betaler vi denne pris, selvom vi ikke køber noget slik, og den ændrer sig heller ikke uanset om vi køber 100g eller 800g.

Derfor bliver vores forskrift:

f(x) = 8x + 2

Videre arbejde

At plotte sin graf. Her er det bedst at lave et skema og bestemme, hvor meget den vokser per gang

Antal gram:  0 ,100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800

Prisen: 2, 10, 18, 26, 34, 42, 50, 58, 66

At bestemme en specifik pris

Fx kan man også ønske at vide, hvor mange penge 900 gram koster. Vi kender forskriften og kan sætte vores x ind.

f(x) = 8x + 2

*Dog skal vi lige i dette tilfælde være opmærksom på ikke at sætte 900 ind på x plads men sætte 9 ind, for ellers bliver prisen alt alt for høj.

Vi får:

f(x) = 8*9 + 2 = 74

For at samle op

Skal man bestemme en forskrift er det en god ide først at bestemme den afhængige og uafhængige variabel. Altså, hvad afhænger af hvad?

Har vi et b? Altså er der et særligt beløb etc., som vi skal være opmærksomme på, såsom en starttemperatur eller et beløb for en pose.