Lei de Poisson

Lei de Poisson

onde falamos ainda de Probabilidades!

• Em média , 4 barcos por dia chegam à esta aldeia portuária.

• Qual é a probabilidade que , amanhã, cheguem 2 barcos ? apenas um? pelo menos um barco ? 7 barcos ?

• Apenas sabemos que - em média - chegam 4 barcos/dia - mas, pode haver mais, pode haver menos, depende....

A Lei de Poisson propõe uma solução

Temos um campo de observação: um dia - ou um ano - ou metade de um dia... mas vamos considerar no início a duração temporal de "um dia" .

Durante este dia, podem ocorrer acontecimentos : a chegada de um barco ou de vários barcos.

Podem chegar em qualquer momento desse dia.

Para que a Lei de Poisson se aplique,

Precisamos de 3 condições:

1) A probabilidade de ocorrência deve ser a mesma em todo o campo de observação : significa nesse caso que o barco - ou os barcos - podem chegar no porto em qualquer momento, com a mesma probabilidade.

Para que a Lei de Poisson se aplique,

2) A Probabilidade de ocorrência num único ponto é aproximadamente 0 (zero). Significa, por exemplo, que a probabilidade de um barco chegar EXACTAMENTE às 14h35minutos e 10 segundos - é 0 (zero)

Para que a Lei de Poisson se aplique,

3) O número de ocorrências num determinado intervalo ( de tempo ou de espaço) é independente do número de ocorência noutro intervalo de tempo. Significa, por exemplo, que a probabilidade de chegar um único barco no dia 1 de Dezembro é a mesma, quer tenham chegado 10 barcos na véspera, quer não tenham chegado nenhum quer apenas um tenha chegado no dia 30 de Novembro!

Iremos chamar X a variável aleatória igual ao número de barcos que podem chegar neste porto durante um determinado dia.

X poderá ser igual a 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou...... até ao infinito !

No Exemplo do Barco

• X=0 significa Nenhum barco chegará durante o dia escolhido

• X=1 significa Um único barco chegará durante o dia escolhido

• X=2 significa Exactamente 2 barcos chegarão durante o dia escolhido

• X=3 significa Exactamente 3 barcos chegarão durante o dia escolhido

• etc...

Temos uma fórmula que permite achar P(X=k), qualquer que seja "k", número inteiro entre 0 e +∞

• Mas, precisamos de conhecer o número médio de acontecimentos para um determinado intervalo de tempo, ou de espaço 𝝁

• No caso do barco, temos esta informação: chegam "em média" 4 barcos por dia" ; isto é, neste caso 𝝁=4

• Nota: 𝝁 é uma letra grega que se lê "miu"

A fórmula é

 $\frac{e^{-\mu}\times\mu^k}{k!}$  

 $\frac{e^{-\mu}\times\mu^k}{k!}$  Esta  fórmula contém várias expressões matemáticas:

•  $e^{-\mu}$   é a função exponencial de base "e" aplicada ao valor "- $\mu$  " Numa máquina decalcular encontrarão uma tecla   $e^x$  
   ou então "exp(x)" : clicar na função e introduzir o valor   $-\mu$  
  
  

• Por exemplo  $e^{-2}=0,1353\ \ \ \ e^{-3}=0,0498$  
  

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Vamos ver se percebeu

 $e^{-4}=?$  

• 0,0104

• 0,0183

• 0,6796

• 0,3679

 $\frac{e^{-\mu}\times\mu^k}{k!}$  Continuemos:

•  $\mu^k$   é uma mera potência : numa máquina de calcular encontrarão a tecla " $x^y$  " ou então  a tecla "^" para calcular uma tal expressão
  
  

• Por exemplo  $4^{2\ }=16\$  pode ser calculado introduzindo as teclas sucessivas "  $4\ x^y\ 2\ \ =$  " ou então " $4\$ ^ $2\ =$  "
  

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Vamos ver se percebeu

 $12^4=?$  

• 48

• 1728

• 20 736

• 2,0736

 $\frac{e^{-\mu}\times\mu^k}{k!}$   Continuemos:

•  $k!$  ou "k factorial" é igual ao produto de "k" por todos os números inteiros anteriores
  

• Por exemplo: 4!=4x3x2x1=24
  

• Nas máquinas de calcular podemos encontrar a tecla " $x!$  ". Para calcular 10! introduzimos "10  $x!$   =" e obtemos o resultado:               3 628 800 (mais prático do que 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1)
  

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Vamos ver se percebeu

8!= ?

• 5040

• 12505

• 40320

• 44510

Voltamos à chegada dos barcos na aldeia à beira mar:

• 𝝁 = 4 (média de chegadas de barcos/dia)

• Qual é a probabilidade que no dia seguinte haja apenas um (1) barco a chegar ? Procuramos P(X=1)

Aplicamos a nossa fórmula:

•  $P\left(X=1\right)=\frac{e^{-4}\times4^1}{1!}\cong0,0733$  

  
  

• 0,0733 =7,33%  Temos uma probabilidade de 7,33% que um barco (apenas um) chegue ao porto no dia seguinte.
  

E assim de seguida

•  $P\left(X=4\right)=\frac{e^{-4}\times4^4}{4!}\cong0,1954$  

  
  

• Temos uma probabilidade de 19,54% que 4 barcos (exactamente 4) cheguem ao porto no dia seguinte.
  

E assim de seguida

•  $P\left(X=5\right)=\frac{e^{-4}\times4^5}{5!}\cong0,1563$  

  
  

•  $P\left(X=6\right)=\frac{e^{-4}\times4^6}{6!}\cong0,1041$  
  

• etc...

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Vamos ver se percebeu
P(X=7)=

 $\frac{e^{-4}\times4^7}{7!}$  

• 0,0595

• 0,0743

• 0,0065

• 300,0834

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E agora, sem a fórmula a frente:

P(X=8)= ?

• 0,0998 ou 9,98%

• 0,0199 ou 1,99%

• 0,1123 ou 11,23%

• 0,0298 ou 2,98%

Ao calcular todas as probabilidades sucessivamente

P(X=0), P(X=1), P(X=2),.... até que o valor de P(X=k) seja quase nulo do ponto de vista estatístico (=0,0000 arredondado com 4 casas decimais)

obtemos então a LEI DE PROBABILIDADE da v.a. X em estudo

Lei da V.A. X

( nº de barcos que chegam à Aldeia num determinado dia)

observações:

P(X=14)=0,0001 ou seja, 1 em 10.000 é como se em 10.000 dias , apenas num desses dias apareceriam 14 barcos ( probabilidade muito reduzida) .

E, a partir de X=15, a probabilidade é quase 0: significa que é mesmo pouco provável que apareçam neste porto 15 barcos ou mais

observações:

• a maior probabilidade é para X=3 ou X=4: significa que o número de barcos mais prováveis são 3 ou 4 barcos
• finalmente, a soma de todas estas probabilidades é igual a 1 - facto que se verifica em todas as leis descrevendo V.A. discretas como esta.

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Sabe ler esta tabela ?

Qual é a probabilidade que cheguem 2 barcos num certo dia ?

• 0,1465

• 0,0006

• 0,0019

• 0,0183

Agora - o que é que acontece se mudamos o espaço temporal ?

Por exemplo - se nos perguntamos qual é probabilidade de chegar um barco na aldeia portuária durante a próxima manhã ( das 9h às 12h) em vez de "durante um dia"

A Lei de Poisson vai se aplicar na mesma

Mas, teremos que alterar - por regra de 3 simples - o número médio de barcos que chegam no porto.
Esta média era de 4 barcos por dia (24h)
Qual será a média no espaço temporal reduzido: das 9h até às 12h (3h)?
𝝁=4 (barcos) é para 24h o que a nova média (𝝁') é para 3h

 $\mu'=\frac{4\times3}{24}=0,5$        

chegam em média 0,5 barcos por um período de 3h

Qual é então a probabilide que chegue um barco à aldeia portuária durante a manhã seguinte ( entre as 9h e as 12h) ?

𝝁'=0,5 e procuramos P(X=1)

 $P\left(X=1\right)=\frac{e^{-0,5}\times0,5^1}{1!}=0,3033$   ou seja 30,33%

Eis a Lei de probabilidade da v.a. de Poisson de média 0,5

que ilustra o estudo do "número de barcos que entram na aldeia portuária durante um período de 3 horas"

Observações

A partir de X=6 as probabilidades são quase nulas; significa que - com esta média de 0,5 barcos por período de tempo de 3horas - a probabilidade que cheguem 6 barcos ou mais é QUASE ZERO num destes períodos (por exemplo das 9h às 12h - mas seria o mesmo para o período das 6h às 9h...) .

Observações

• O que é mais provável é "não chegar nenhum barco"

• Novamente, observamos que estamos perante uma "lei de probabilidades" -e que consequentemente a soma de todas as probabilidades é igual a 1

• Isto poderá nos facilitar certas contas !

Observações

Por exemplo, se queremos calcular a probabilidade que chegue "pelo menos um barco" ao porto entre as 9h e as 12h , podemos proceder de duas maneiras

P(X≥1)= P(X=1)+P(x=2)+P(X=3) +....etc.

ou então

P(X≥1)= 1- P(X=0) ( isto é o total geral menos a probabilidade que não nos interessa)

Observações

1º processo:

P(X≥1)= 0,3033+0,0758+0,0126+0,0016 +0,0002+0,0000=0,3935

2º processo

P(X≥1)= 1-0,6065=0,3935

Este segundo método sendo muito mais rápido!

Significa que durante um período de 3 horas, a probabilidade que chegue pelo menos um barco a aldeia é de quase 40%.

Se percebeu tudo, Está pronto para um Quizz sobre a Lei de Poisson

Prepare a máquina de calcular, um rascunho com a fórmula bem explícita no topo da folha... e responda