Operaciones con radicales

Radicales

Operaciones con radicales

por el profesor Ricardo Blanco

Adición y Sustracción de Radicales

Para sumar o restar dos o más radicales, estos deben ser semejantes. Se llama radicales semejantes aquellos que cuando son expresados en su forma más simple posible tienen la parte del radical igual, es decir, tienen la misma cantidad subradical y los índices son iguales.
Por ejemplo:

-  $\sqrt{3},\ \frac{1}{4}\sqrt{3},\ 3\sqrt{3}$  son radicales semejantes, porque tiene la misma cantidad subradical y el mismo índice. Tienen índice "2" y cantidad subradical "3"
-  $3\sqrt{xy};\ -5\sqrt{xy};\frac{1}{4}\sqrt{xy}$  son radicales semejantes, porque tienen la misma cantidad subradical y el mismo índice. Tienen índice "2" y cantidad subradical "xy"

Adición y Sustracción de Radicales

Nota Importante:
Hay radicales que a primera vista no parecen semejantes, ya que las cantidades subradicales son diferentes.
Para determinar si los radicales son semejantes, es necesario descomponer las cantidades subradicales y extraer los factores que se puedan.
Ejemplo: Determinemos si  $\sqrt{12}$  y  $3\sqrt{3}$ son semejantes.

Primero se descompone el  $\sqrt{12}$   en factores primos, obtenemos  $\sqrt{2^2.3}=2\sqrt{3}$  
Entonces como  $2\sqrt{3}$  y $3\sqrt{3}$  poseen la misma cantidad subradical que es "3" con el mismo índice "2" son semejantes 

Multiple Select

¿Los radicales  $2\sqrt{24a};\ -\sqrt{150a}\ y\ 4\sqrt{54a}$  son  semejantes?

• Si

• No

Adición y Sustracción de Radicales

Los radicales semejantes, al igual que los términos semejantes, pueden ser sumados y restados. Para ello se halla la suma algebraica de los coeficientes de los radicales y se coloca la misma parte radical.
Ejemplo:

 $2\sqrt{24a}-\sqrt{150a}+4\sqrt{54a}=$  
Paso 1: se verifica si los radicales son semejantes, en el caso que no se detecte a simple vista, debemos descomponer en factores primos las cantidades subradicales y extraer los factores permitidos.
 $4\sqrt{6a}-5\sqrt{6a}+12\sqrt{6a}=\left(4-5+12\right)\sqrt{6a}=11\sqrt{6a}$  

Adición y Sustracción de Radicales

Ejemplo:

 $3∛xy+2∛xy-4∛xy=$  
Paso 1: se verifica que los radicales sean semejantes, para poder operarlos.
 $(3+2-4)∛xy=∛xy$  

Adición y Sustracción de Radicales

Ejemplo:

 $3\sqrt{2}-7\sqrt{75}-\sqrt{300}+2\sqrt{108}=$  

Paso 1: se verifica si los radicales son semejantes, realizando una descomposición de cada cantidad subradical hasta su mínima expresión y se operan los semejantes.
Descomposición de cada cantidad subradical:
 $3\sqrt{2}=3\sqrt{2}$  queda igual ya que el "2" es un número primo.
 $7\sqrt{75}=7\sqrt{3.5^2}=\left(7\right).\left(5\right)\sqrt{3}=35\sqrt{3}$  $\sqrt{300}=\sqrt{10^2.3}=10\sqrt{3}$ 
 $2\sqrt{108}=2\sqrt{3.6^2}=\left(2\right).\left(6\right)\sqrt{3}=12\sqrt{3}$ 
Resultado:
 $3\sqrt{2}-35\sqrt{3}-10\sqrt{3}+12\sqrt{3}=3\sqrt{2}-33\sqrt{3}$  

Multiple Choice

El resultado de la operación  matemática

 $2\sqrt{20}-3\sqrt{45}+7\sqrt{5}-500=$  

es

•  $502\sqrt{2}$  

•  $498\sqrt{2}$  

•  $2\sqrt{5}-500$  

• Ninguna de las anteriores

Multiplicación de Radicales con igual índice

Para multiplicar radicales con igual índice, se multiplican las cantidades subradicales y se coloca el mismo índice, siempre y cuando cada radical sea un número real.

Multiplicación de Radicales con igual índice

Ejemplos:

•  $\sqrt{2ab}.\sqrt{2a}.\sqrt{2b}=\sqrt{2ab.2a.2b}=\sqrt{2^3.a^2.b^2}=2ab\sqrt{2}$  

•  $∛2.∛40=∛2.40=∛80=∛(2^3.10)=2∛10$  

•  $\sqrt{\left(a+b\right)}.\sqrt{\left(a+b\right)^3}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+b\right)^3}=\sqrt{\left(a+b\right)^4}$  

Multiple Choice

hallar el resultado de la siguiente multiplicación con igual índice

 $\sqrt{16x^3}.\sqrt{4x^5y^2}=$  

•  $4^3y\sqrt{x}$  

•  $4x^3y\sqrt{4x}$  

•  $8x^4y$  

• Ninguna de las anteriores

División de Radicales con igual índice

Para multiplicar radicales con igual índice, se dividen las cantidades subradicales y se coloca el mismo índice, siempre y cuando cada radical sea un número real

División de Radicales con igual índice

Ejemplos:

•  $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{16}{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$  

•  $\frac{\sqrt{8x^3z^5}}{\sqrt{2zx}}=\sqrt{\frac{8x^3z^5}{2zx}}=\sqrt{4x^{\left(3-1\right)}z^{\left(5-1\right)}}=\sqrt{4x^2z^4}=2xz^2$  

Multiple Choice

Resuelve la siguiente operación matemática $\frac{\sqrt{8x^3y}}{\sqrt{10xy^3}}=$  

•  $2x$  

•  $\sqrt{2xy}$  

•  $2x\sqrt{\frac{1}{5y^2}}$  

• Ninguna de las anteriores

Reducción de radicales a un mismo índice

Si los radicales tienen diferentes índices, es necesario reducirlos a un índice común para efectuar las operaciones de producto y cociente. Para ello se procede de la siguiente manera:

1. Se determina el mínimo común múltiplo de los índices de los radicales.
2. Se divide el mínimo común múltiplo o índice común entre los índice de cada radical.
3. Se eleva la cantidad subradical al resultado obtenido en la división anterior.
4. se simplifica cada radical, para ello se extraen los factores que sean posibles de la raíz.

Reducción de radicales a un mismo índice

Ejemplos:

Reducir los siguientes radicales a un mismo índice.

 $\sqrt{5};\ ^3\sqrt{2}\ y\ \ ^4\sqrt{3}$  m.c.m(2,3,4)=12 

 $\sqrt{5}=\ ^{12}\sqrt{5^6}$  

 $\ ^3\sqrt{2}=\ ^{12}\sqrt{2^4}$  
 $\ ^4\sqrt{3}=\ ^{12}\sqrt{3^3}$  

Multiple Choice

Expresa los siguientes radicales con índice común

 $x.\ \ ^4\sqrt{x^3}\ \ ;\ \ ^6\sqrt{x^4}\$  

•  $\ ^{24}\sqrt{x^{29}};\ \ ^{24}\sqrt{x^{12}}$  

•  $\ ^6\sqrt{x^{29}};\sqrt{x^{20}}$  

•  $x.\ ^{12}\sqrt{x^9}\ ;\ ^{12}\sqrt{x^8}$  

• Ninguna de las anteriores

Multiplicación de Radicales de diferentes índices

Para efectuar el producto de radicales con diferentes índice se expresan primero con un índice común, luego se efectúa el producto y por ultimo se simplifica el resultado, si es necesario
Ejemplos:

 $\sqrt{2}.\ \ ^5\sqrt{8}.\ \ ^6\sqrt{32}=$  

m.c.m(2,5,6)=30
 $\sqrt{2}.\ \ ^5\sqrt{2^3}.\ \ ^6\sqrt{2^5}=^{30}\sqrt{2^{15}}.\ \ ^{30}\sqrt{\left(2^3\right)^6}.\ \ ^{30}\sqrt{\left(2^5\right)^5}=$   $\ ^{30}\sqrt{2^{15}.2^{18}.2^{25}}=\ ^{30}\sqrt{2^{58}}=2\ .^{30}\sqrt{2^{28}}$  

Multiple Choice

Calcula el producto de radicales con diferentes índices

 $\ ^3\sqrt{xy}.\sqrt{3xy}.\ \ ^{12}\sqrt{9x^{14}y^8}=$  

•  $x^2\sqrt{9xy}$  

•  $\ ^{12}\sqrt{3^8xy}$  

•  $x^2y\ .^{12}\sqrt{3^8y^6}$  

• Ninguna de las anteriores

División de radicales con diferentes índices

Para efectuar el cociente de radicales de diferentes índices primero se expresan con índice común y luego se procede a efectuar el cociente de radicales de igual índice.

Ejemplos:

 $\frac{\sqrt{20}.\ \ ^4\sqrt{125}}{5\sqrt{50}}=$ 
m.c.m(2,4,5)=20 

 $\frac{^{20}\sqrt{\left(2^2.5\right)^{10}.}\ \ ^{20}\sqrt{\left(5^3\right)^5}}{^{20}\sqrt{\left(2.5^2\right)^4}}=^{\ 20}\sqrt{\frac{2^{20}.5^{25}}{2^4.5^8}}=^{20}\sqrt{2^{16}.5^{17}}$  

Multiple Choice

Calcula el cociente de radicales de diferentes índices

√125 ÷ ∛-25 =

• $^6\sqrt{5^5}$

• √-5

• 
  

  $^{12}\sqrt{-5^{10}}$
  

• Ninguna de las anteriores