Propriedades das Progressões Aritméticas

Propriedades das Progressões Aritméticas

Propriedades da PA

Uma progressão aritmética pode ser classificada como crescente, decrescente ou constante.
a. Se (a, b, c) são três termos consecutivos de uma progressão aritmética, então o termo central é a média aritmética dos outros dois. Ou seja,

 $b=\frac{a+c}{2}$  
Exemplo: Seja a PA (4, x, 10...), qual é o seu segundo termo?

b. Em uma progressão aritmética, qualquer termo é a média aritmética dos termos equidistantes. Seja a PA (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, ...) podemos determinar $a_8\ =\frac{a_6+a_{10}}{2}$  ou  $a_5=\frac{a_2+a_8}{2}$  e assim sucessivamente.

Exemplos: 

1. Dada a PA (a, 7, b, c, x, y, z, 19, ...) qual deve ser o valor de x?

2. Numa PA o 2º termo é 24 e o 6º termo é 12, qual é o valor do 4º termo?

c. Quaisquer dois termos equidistantes de uma progressão aritmética têm soma igual. Exemplo: em uma PA de 10 termos:

a₁ + a₁₀ = a₂ + a₉ = a₃ + a₈ = a₄ + a₇ = a₅ + a₆, e assim sucessivamente.

Exemplo:

Numa PA de 10 termos, o primeiro termo é 1 e o último é 46, qual é a soma de seus 10 termos?

Termo Geral da PA

 $a_n=a_1+\left(n-1\right).r$  
Exemplos:
1. Numa PA de razão 4, o 12º termo é 144, qual é o primeiro termo?
2. Qual o número de termos na PA ( 1, 6, ..., 57)?
3. Qual é a razão na PA (-5,...) sabendo que seu 7º termo é 7?

Soma dos termos da PA

 $S_n=\frac{\left(a_{1\ }+a_n\right)\cdot n}{2}$  

Exemplos:
1. Qual é a soma dos 20 primeiros termos da PA (2, 6, 10, ...)?
2. Qual é a soma dos 40 primeiros termos da PA (12, 14, 16, ...)?