PGCD et simplification de fractions

PGCD et simplification de fractions

Simplifier une fraction

C'est écrire une fraction égale avec des valeurs plus petites au numérateur et dénominateur. Ces valeurs doivent être des nombres entiers

Exemple

 $\frac{74}{148}=\frac{1}{2}$  

Méthode

• On divise en haut et en bas par le même nombre

• Ce nombre doit être un diviseur commun du numérateur et du dénominateur

•  $Exemple\ \ \ \ \frac{48}{15}=\frac{16\times3}{5\times3}\ \$  

• Je peux donc diviser en haut et en bas par 3

•  $La\ fraction\ simplifie\ est\ donc\ \frac{16}{5}$  

Simplification IRREDUCTIBLE

On parle de simplification irreductible lorsque j'écris ma fraction avec les plus petits entiers possibles



Exemple pour le cas précedent:

 $\frac{144}{48}=\frac{48\times3}{48\times1}=\frac{3}{1}$  

Comment garantir une fraction irreductible?

Utilisation du PGCD

LE PGCD

• PLUS

• GRAND

• COMMUN

• DIVISEUR

Le PGCD de deux nombres

C'est le plus grand diviseur commun d'un couple de deux nombres entiers.

Remarque

le PGCD est au minimum égal à 1

Méthode avancé de calcul du PGCD

Pour de nombres très grands, ils est parfois difficile de determiner le PGCD. Pour cela nous allons utiliser la décomposition en facteurs premiers.

Exemple: PGCD(45,36)

 $45=3\times3\times5$  
 $36=2\times2\times3\times3$  
On  cherche a identifier les facteurs communs dans les deux decompositions (dans ce cas 3 et 3). Le produit de ces facteurs est le PGCD (3x3=9)

Garantir une fraction irréductible

Pour garantir une fraction irreductible, il faut simplifier par le PGCD du numérateur ou dénominateur

On peut aussi dire que la fraction est à l'état irreductible si le PGCD du numérateur et dénominateur est égal à 1