Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

Цели урока:

вместе с учениками вывести формулу корней квадратного уравнения;

учить учащихся применять формулу корней квадратного уравнения.

Квадратные уравнения можно разделить всего на 2 вида

• Полное

• Неполное

Начнём с полного Квадратного уравнения

Общий вид такого уравнения: ax² + bx + c = 0

В свою очередь полные квадратные уравнения подразделяются на

• Приведённые ( a = 1)

• Не приведённые ( a ≠ 1, 0)

Multiple Select

Какое из предложенных уравнений можно полным квадратным уравнением?

• 2x² − 5x + 2 = 0

• x - 1 = 0

• x² + 3x + 1 = 0.

• 3x - 2 = 1

Практическое задание

Разберём решение простых полных квадратных уравнений

Для решения квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:

• Используем формулу D = b² - 4ac подставляя коэффициенты, для нахождения дискриминанта

• При значении D больше 0 - у уравнения имеется 2 корня

• При значении D равного 0 - у уравнения 1 корень

• При значении D меньше 0 - у уравнения нет действительных корней

Multiple Choice

Сколько корней имеет данное квадратное уравнение: x² − 8x + 12 = 0

• 1

• 2

• нет действительных корней

После определения D, Дальнейший ход решения будет строится по-разному

Рассмотрим три случая

Пусть D>0, тогда имеем уравнение 

(x+b/2a)²=D/4a²

• Отсюда, x+b/2a= √D/2a или x+b/2a= -√D/2a

• х=√D/2a-b/2a или х=-√D/2a-b/2a

• х=-b+√D/2a или х=-b-√D/2a

• Итак, если D>0, то квадратное уравнение, имеет 2 корня и они определяются по формулам: х₁=-b+√D/2a, х₂=-b-√D/2a.

  
  

Пусть D=0, тогда уравнение примет вид: (х+b/2a)²=0

• Отсюда х+b/2a=0, х=-b/2a

• Значит, если D=0, то уравнение ax²+bx+c=0 имеет один корень. Он равен -b/2

Пусть D<0. Тогда D/4a²<0. Значит, в этом случае, уравнение ax²+bx+c=0 корней не имеет

Итак, алгоритм решения квадратного уравнения:

• Вычисляем дискриминант и сравниваем его с нулем

• Применяют формулу корней квадратного уравнения если D>0

• Если D<0, то делают вывод об отсутствии корней

Multiple Choice

Имеет ли корни данное уравнение: 5x² - x + 2 = 0

• Да

• Нет

Рассмотрим решение следующего уравнения: 6х²-х-2=0

• D=b²-4ac, D=(-1)²-4*6*(-2)=1+48=49, т.е. D>0

• x_1,2=(-b+√D)/2a

• х₁=1+√49/2*6=1+7/12=8/12=2/3;

• х₂=1-√49/2*6=1-7/12=-6/12=-1/2

• Корнями уравнения будут 2/3, -1/2.

Рассмотрим решение ещё одного уравнения: -х2+2х-2=0

• ( умножим всё на -1) х2-2х+2=0

• D=4-4*1*2=4-8=-4, D<0

• Данное уравнение не будет иметь решения, поскольку у него нет корней

И рассмотрим третий пример решения уравнения: х²+0,2х+0,01=0

• (умножим всё на 100 для упрощения) 100х²+20х+1=0

• D=400-4*100=0

• Отсюда, х=-20/200=-1/100=-0,1. Уравнение будет иметь 1 корень.

Multiple Choice

Решите квадратное уравнение: 3x2-10x+3=0

• Корней нет

• 1/3, 3

• 3

• 2,6

Multiple Choice

Решите квадратное уравнение: 2x²+9x+7=0

• 2,5

• Нет корней

• 1; 3,5

• -1; -3,5

Подведение итогов урока

• Назовите формулу корней квадратного уравнения

• Что такое Дискриминант (D) и как его найти

• Алгоритм Решение квадратного уравнения

• 
  

• 
  

Домашнее задание

• 3x² + 1+ 2x =0

• x² -12x = 22

• x2 +33 = 12

• 2x²-9x+7=0

• 71x²+144x+4=0