Irracionales y Raíces

Irracionales y Raíces

¿Qué queremos trabajar juntos hoy?

• Repasaremos números irracionales y raíces.

Números irracionales (I, Q')

Son aquellos números decimales infinitos NO periódicos.
Ejemplos:
Los números  $\pi$  = 3,141592...    $\sqrt{2}$  = 1,414213...

Observación: La definición y algunas propiedades de las raíces cuadradas, para "a" y "b" números racionales no negativos son:

Definición: 1)  $\sqrt{a}=b\ \leftrightarrow\ b^2\ =\ a$       2)  $\sqrt{a^2}=\ \left|a\right|$  

Propiedades

 $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$   1     

 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$  2

 $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$  3

 $\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$  4

Números Reales

La unión del conjunto de los números racionales (Q) y los números irracionales (Q') genera el conjunto de los números reales el cual se expresa como IR

Es decir,  $IR\ =\ Q\ \cup\ Q'$  

Operatoria en R

• El resultado de una operación entre números racionales es SIEMPRE otro número racional ( excluyendose la división por cero).

• La operación entre números irracionales, NO SIEMPRE es un número irracional.

• Por otra parte, la operación entre un número irracional y un número racional SIEMPRE da como resultado un número irracional. (Exceptuando la multiplicación y/o división con el cero)

• OBSERVACIÓN

• NO son números reales las expresiones de la forma 

• raíz n de a, con a < 0 y n par.

Multiple Choice

¿Cuál de los siguientes números es irracional?

• $\sqrt{4}$

• $\sqrt{9}$

• $\sqrt{16}$

• $\sqrt{27}$

• $\sqrt{0,25}$

Multiple Choice

Al ordenar de manera creciente los números a=  $4\sqrt{2}$    b=  $3\sqrt{3}$  y         c =  $2\sqrt{7}$  , se obtiene 

• a, b, c

• a, c, b

• b, a, c

• c, a, b

• b, c, a

Multiple Choice

Al ordenar de menor a mayor los siguientes números;  $a=\frac{\sqrt{3}}{2}$   $b=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}$   $c=\sqrt{\frac{7}{8}}$  d= 0,99999...  y  $e=\frac{2}{3}$ , el número que ocupa la posición central es: 

• a

• b

• c

• d

• e

Multiple Choice

Con respecto a la expresión  $\sqrt{5-x}$  , ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

 $I.-\ Es\ real\ si\ -5<x<5$   $II.-\ Es\ real\ si\ x=5$   $III.-\ Es\ real\ si\ x<-5$  

• Solo I

• Solo II

• Solo I y II

• Solo II y III

• Todas

Multiple Choice

Si  $q=\frac{1}{2}$  y  $q'=\sqrt{2}$  , ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) expresión(es) es(son) irracional(es)?

 $I.-\ q^2\cdot q'$  
 $II.-\ q'\ :\ q$  
 $III.-\ q'^2\cdot\ q$  

• Solo I

• Solo II

• Solo I y II

• Solo II y III

• Todas

Raíces

DEFINICIÓN 1: Si "n" es un entero par positivo y "a" es un real no negativo, entonces raíz n de a es el único real "b", no negativo, tal que  $b^n\ =a$  

 $\sqrt{a}=b\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ b^n\ =a\ \ \ \ \ \ con\ b\ge0$  

Raíces

DEFINICIÓN 2: Si "n" es un entero impar positivo y "a" es un real cualquiera, entonces raíz n de a es el único real "b", no negativo, tal que  $b^n\ =a$  

 $\sqrt{a}=b\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ b^n\ =a\ \ \ \ \ \ con\ b\ \epsilon\ IR$  

Raíces

OBSERVACIONES: 

Si "n" es un entero par positivo y "a" es un real negativo, entonces raíz n de a NO ES REAL .

La expresión raíz  $\sqrt{a^k}$  , con "a" real no negativo, se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario.
 $\sqrt{a^k}=a^{\frac{k}{n}}$  
 $\sqrt{a^2}=\left|a\right|,\ para\ todo\ número\ real$  

Multiple Choice

• 14

• 6

• 4

• 2

Multiple Choice

• 14

• 6

• 4

• 2

Multiple Choice

¿Cuál(es) de los siguientes númer es(son) equivalentes con  $\sqrt{\left(-3\right)^2}$  ?

 $I.-\ \ \sqrt{9}$  
 $II.-\ 3$  
 $III.-\ -3$  

• Solo I

• Solo II

• Solo III

• Solo I y II

• Todas

Multiple Choice

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

•  $\sqrt{\left(-2\right)^6}=\ \left(-2\right)^{\frac{6}{2}}$  
  

•  $\sqrt{0^4}=0^{\frac{4}{2}}$  

•  $\sqrt{2^3}=2^{\frac{3}{2}}$  

•  $\sqrt{\left(-2\right)}No\ es\ un\ número\ real$  

Multiple Choice

• -2

• $-\frac{7}{5}$

• $-\frac{3}{5}$

• $\frac{7}{5}$

• no está definido

Multiple Choice

• 0,024

• 0,24

• 0,6

• 1

• 6

Multiple Choice

• $\frac{1}{9}$

• $\sqrt{3}$

• 6

• 9

• 81

Propiedades

• Si  $\sqrt{a}\ \ y\ \ \sqrt{b}$  están definidas en IR, entonces:

• MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE

•  $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\ \sqrt{a\cdot b}$  

• DIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE

•  $\sqrt{a}:\sqrt{b}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ =\sqrt{\frac{a}{b}}\ ,\ b\ne0$  

Multiple Choice

• 4

• $\sqrt{8}$

Multiple Choice

• 1

•  $\frac{a}{b}$  
  

•  $\left(\frac{a}{b}\right)^4$  

•  $\sqrt{\frac{1}{ab}}$  

•  $\frac{b}{a}$  

Multiple Choice

• -2

• 2

• 4

• $\sqrt{10}$

• $\sqrt{3}+\sqrt{7}$

Multiple Choice

• 0

• 1

• -1

• no está definido

Multiple Choice

Multiple Choice

• 3