Función exponencial

 Función exponencial

 $f\left(x\right)=a^x$  
donde   $a>1$         $0<a<1$  

Una función exponencial, será exponencial si y solo si, el valor de la base es número positivo, es decir   $a>0$  pero distinto de 1

¿Función exponencial o no exponencial ?

•  $f\left(x\right)=\left(-3\right)^x$  NO es exponencial ya que la base es un número negativo

•  $g\left(x\right)=4^{-x}$  SI es una función exponencial ya que la base es un número positivo, el exponente es negativo por lo cual se puede afirmar que la función es decreciente.

•  $h\left(x\right)=-\left(5\right)^x+2$  SI es una función exponencial, la base es un número positivo y nada más se le a agregado una constante, la cual nos indica un desplazamiento hacia arriba de dos unidades 

•  $j\left(x\right)=\left(\frac{1}{3}\right)^x$  Si es una función exponencial ya que cumple que la base está entre 0 y 1, esta función por ser la base una fracción se puede afirmar que es una función decreciente. 

Multiple Choice

En la gráfica de una función exponencial decreciente

• la base es mayor a 1

• la base es un valor entre 0 y 1

• la base es cero

• la base es un valor negativo

Multiple Choice

La función exponencial es aquella que tiene a la variable x en:

• el coeficiente numérico

• la base

• el exponente

• el argumento

Multiple Choice

En una función exponencial

• la base y el exponente son números
• la base y el exponente son variables
• la base es un número y el exponente es variable
• la base es variable y el exponente un número

Multiple Select

f(x)= (3/2)^x es una funcion exponencial

• VERDADERO

• FALSO

Multiple Choice

En la gráfica exponencial creciente

• la base es menor que cero

• la base es entre 0 y 1

• la base es positiva

• la base es mayor que 1

desplazamiento horizontal de la función exponencial

si la función $f\left(x\right)=\ a^x$  es la original y para que sufra un desplazamiento de manera horizontal se de de transformar la función original a  $f\left(x\right)=a^{\left(x-h\right)}$  

- Para la que la función se desplace hacia la izquierda el valor de h debe de ser un número positivo es decir  $h>0$  
-Para que la función se desplace hacia la derecha el valor de h debe de ser un número negativo es decir   $h<0$  

desplazamiento horizontal

La función original ha sufrido un desplazamiento de 2 unidades a la izquierda.
Como   $f\left(x\right)=2^x$  se cambio a  $f\left(x\right)=\ 2^{\left(x+2\right)}$  

es decir que el grafico se moverá las unidades según el número que acompaña al exponente, pero hay que tener en cuanta su signo, como se puede observar en la imagen se toma con signo contrario.
Como el exponente es  $x+2\$  se puede afirmar que la función se desplaza -2 unidades hacia la izquierda.

Desplazamiento de la función hacia la drecha

La función original es  $f\left(x\right)=\ 3^x$  

luego la función se desplazó hacia la derecha 6 unidades es decir que la original cambio a  $f\left(x\right)=3^{\left(x-6\right)}$  

Desplazamiento vertical de la función exponencial

La función exponencial puede sufrir desplazamientos tanto de manera vertical como de manera horizontal.
La función sufre un desplazamiento vertical es decir hacia arriba o hacia abajo si la función esta escrita de la la forma  $f\left(x\right)=a^x+k$ , si  $k<0\$  es decir un número negativo se desplaza hacia abajo

Si  $k>0\$  es decir un número positivo  esta se desplaza hacia erriba 
En la imagen se puede notar que el valor de k es 1, es un número positivo por lo cual se movio una unidad hacia arriba.

desplazamiento hacia arriba

La función original   $f\left(x\right)=2^x$  se le agregó un termino independiente el cual tiene un signo positivo, es decir que la función se modifico a  $f\left(x\right)=2^x+3$  

Donde  el +3 son las unidades que se movió hacia arriba 

desplazamiento hacia abajo

La función original   $f\left(x\right)=2^x$  se le agrega un termino independiente con signo negativo

Es decir que la función se cambió a  $f\left(x\right)=2^x-3$  

Multiple Choice

La gráfica de la función g(x) = 3^x-1 es...

• Ninguna anterior

Multiple Choice

La ecuación que le corresponde a la función representada en la gráfica es:

• $f(x)=\left(\frac{5}{9}\right)^{x-8}$

• $f(x)=\left(\frac{5}{9}\right)^{x+8}$

• $f(x)=\left(\frac{5}{9}\right)^x+8$

• $f(x)=\left(\frac{5}{9}\right)^{ }-8x$

Multiple Choice

La ecuación que le corresponde a la función representada en la gráfica es:

• $f(x)=4^x+9$

• $f(x)=4^{x+9}$

• $f(x)=4^{x-9}$

• $f(x)=4x-9^{ }$

Multiple Choice

Indique la función que corresponde a la gráfica.

• $f\left(x\right)=2^x+1$

• $f\left(x\right)=3^x+2$

• $f\left(x\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^x+2$

• $f\left(x\right)=3^x+1$

Dominio y rango de una función exponencial

Una función exponencial se caracteriza por que esta viene pegada a una asíntota horizontal que es el eje de las “x”, una asíntota horizontal es un punto en “x” que la función nunca toca pero siempre se irá aproximando a ella, pero mientras esta función va avanzando esta va creciendo a un ritmo cada vez mayor.

Dominio y Rango

Ahora conociendo como se comporta la función exponencial se puede definir el dominio y el rango de esta misma, el dominio de cualquier función exponencial es siempre los reales, es decir, que es cualquier número entre menos infinito y más infinito ]-∞, +∞[.

En el caso del rango la cosa cambia un poco, porque como se puede observar en la definición anterior, el rango no son todos los reales, porque la grafica viene creciendo desde el eje de las “x”, es decir cuando "y" es igual a 0 hasta el infinito, entonces esto representado en intervalos sería ]0, +∞[, importante saber que el corchete de 0 es abierto porque la grafica se aproxima lo máximo posible a 0 pero jamás lo toca, por lo tanto el 0 no es parte del rango de la función. Además hay que agregar que el rango dependerá de la ubicación de la asíntota ya que la función puede sufrir desplazamientos tantomo hacia arriba como hacia abajo.

Dominio y Rango

Como se puede ver en la imagen el dominio para toda función exponencial es el conjunto de los números reales es decir $\left(-\infty,\ \infty\right)$ 

Para el Rango hay que evaluar la posición de la asíntota, ya que dependiendo la posición de ella , así será donde comience el o termine el rango de la función, como se puede ver en la imagen, se tiene una asíntota en  $y=0$  quiere decir que el rango será    $\left(0,\infty\right)$  

Dominio y rango de la función

El dominio de toda función exponencial es el conjunto de los número reales es decir  $\left(-\infty,\ \infty\right)$  

Para el Rango,  (también llamado imagen o recorrido) hay que ver donde esta la asíntota y ver hacia donde tiende el grafico, en la imagen se puede notar que la asíntota esta en  $y=3$  y el grafico tiende hacia  $+\infty$  por lo tanto el rango  es  $\left(3,\ \infty\right)$  

Dominio y rango de  $f\left(x\right)=2^x-7$  

Dominio de la función

 $D_f=\left(-\infty,\ \infty\right)$  

Rango de la función 
 $R_f=\left(-7,\infty\right)$  

Dominio y rango de  $f\left(x\right)=-\left(2^x\right)+3$  

Dominio de la función 
 $D_f=\left(-\infty,\ \infty\right)$  

Rango de la función 
 $R_f=\left(-\infty,\ 3\right)$  

Multiple Choice

¿Cuál es el dominio y rango de la función del grafico?

•  $D_f=\left(-\infty,\ \infty\right);\ \ R_f=\left(0,\ \infty\right)$  
  

•  $D_f=\left(8,\ \infty\right);\ R_f=\left(0,\ \infty\right)$  
  

•  $D_f=\left(-\infty,\ \infty\right);\ \ \ R_f=\left(-\infty,0\right)$  
  

Multiple Choice

La ecuación que le corresponde a la recta que es la asíntota de la función  $f\left(x\right)=4^x+9$  es: 

•  $y=9$  
  

•  $y=-9$  
  

•  $x=9$  
  

Multiple Choice

Observe la gráfica y determine el Rango o Recorrido

• $\left(2,\ +\infty\right)$

• $\left[0,\ -\infty\right)$

• $\left(-2,\ -\infty\right)$

Multiple Choice

Observe la gráfica, determine el recorrido o rango

• $R$

• $R^+$

• $R^-$

Multiple Choice

Observe la gráfica, determine el dominio

• $R$

• $R^+$

• $R^-$