PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA

PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA

ARI YUSMAWANSYAH S.Pd

tujuan pembelajaran

• mampu menggunakan prinsip induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis

Prinsip Induksi Matematika

Induksi matematika memiliki langkah – langkah (prinsip) yang harus ditempuh untuk membuktikan bahwa kebenaran suatu pernyataan berlaku untuk setiap bilangan asli. Berikut ialah prinsip – prinsip berdasarkan jenisnya:

Induksi Matematika Diperluas 

Setiap pernyataan yang memuat  n bilangan asli, ternyata tidak harus dimulai dari angka 1. Itulah sebabnya induksi matematika dapat diperluas dengan langkah – langkah berikut:
1. Langkah dasar: buktikan bahwa suatu pernyataan berlaku untuk p(m).
2. Langkah induksi: buktikan bahwa jika pernyataan berlaku untuk p(k)  dengan k $\ge$  m , maka pernyataan tersebut juga berlaku untuk p(k+1).

Induksi Matematika Kuat

Prinsip dasar pada induksi matematika kuat ini berbeda dengan sebelumnya. Jika sebelumnya kita hanya perlu membuktikan bahwa  p(1)benar, maka pada teori kuat ini pernyataan harus bernilai benar untuk p(1),p(n),p(n+1),...p(k). Selain itu, kita juga harus membuktikan pernyataan benar untuk p(k+1). Berikut ini merupakan langkah – langkah yang harus ditempuh untuk membuktikan suatu pernyataan dengan induksi matematika kuat:
1.Langkah dasar: buktikan bahwa p(n) benar. 2.Langkah induksi: jika  p(1),p(n),p(n+1),...p(k) benar untuk k $\ge$  n , maka gunakan hal itu untuk membuktikan bahwa p(k+1) juga benar.

contoh

Buktikan bahwa penjumlahan  bilangan asli berurutan berlaku:

1+2+3+...+n = $\frac{n\left(n+1\right)}{2}$  

Multiple Choice

Hasil dari  $1+3+5+7+...+\left(2n-1\right)$  , untuk setiap  $n$  bilangan asli adalah . . .

•  $n$  

•  $2n-1$  

•  $2n+1$  

•  $n^2$  

•  $3n^2$  

Multiple Choice

Penggunaan induksi matematis yang pertama kali adalah membuktikan bahwa jumlah dari n bilangan bulat positif ganjil pertama sama dengan  $n^2$  

• benar

• salah

Multiple Choice

Dengan induksi matematika, buktikan pernyataan dibawah ini benar atau tidak! 
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n+1) =  $n^2$  

• Benar

• Salah

Multiple Choice

Dengan induksi matematika 5ⁿ - 3ⁿ habis dibagi...

• 2

• 3

• 4

• 5

• 6

Multiple Choice

Berdasarkan prinsip Induksi Matematika, untuk membuktikan suatu pernyataan matematis P(n) dengan n merupakan anggota himpunan bilangan asli, maka langkah pertama harus dibuktikan bahwa .....

• P(n) bernilai benar untuk n = 1.

• P(n) bernilai benar untuk n = k.

• P(n) bernilai benar untuk n = k+1.

• P(n) bernilai benar untuk n = 0

• P(n) bernilai benar untuk n = 2

Multiple Choice

Diberikan suatu pernyataan:

(n³+2n) merupakan bilangan kelipatan tiga untuk n≥1

. Berikut ini yang merupakan basis induksi dari pernyataan di atas adalah ….

• untuk n=0 → 0, bukan kelipatan tiga

• untuk n=1 → 5, bukan kelipatan tiga

• untuk n=1 → 3, kelipatan tiga

• untuk n=2 → 12, kelipatan tiga

• untuk n=2 → 10, bukan kelipatan tiga

Multiple Choice

Jumlah n bilangan ganjil pertama dapat dinyatakan sebagai berikut:

1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) = n²

Untuk membuktikan kebenaran pernyataan tersebut dengan induksi matematika, maka diperlukan pemisalan/asumsi yaitu ...

• Pernyataan tersebut benar untuk n = k, dengan k bilangan asli.

  1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k − 1) = k²

• Pernyataan tersebut benar untuk n = 1:

  2(1) − 1 = 1²

• Pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1:

  1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k − 1) + (2k + 1) = (k + 1)²

• Pernyataan tersebut bernilai salah.

Multiple Choice

Induksi matematika digunakan untuk membuktikan pernyataan yang khusus menyangkut bilangan ….

• cacah

• bulat

• asli

• negatif

• prima

Multiple Select

Berikut adalah langkah - langkah yang digunakan sebagai prinsip induksi matematika.

1. Mengasumsikan P(k) benar.

2. Menunjukkan P(1) benar.

3. Membuktikan P(k+1) benar.

Urutan langkah yang tepat adalah

• 1,2,3

• 2,1,3

• 2,3,1

• 3,2,1

• 3,1,2

Open Ended

apakah kesimpulan pembelajaran hari ini