Ecuaciones de 2 variables

Ecuaciones de 2 variables

by Felipe Soto

Se evaluará el logro de los siguientes Objetivos:

​• Conocer una ecuación lineal de dos incógnitas.

• Resolver sistemas de ecuaciones lineales (2x2) utilizando los métodos algebraicos de sustitución, igualación y reducción.

• Resolver sistemas de ecuaciones lineales (2x2) utilizando el método gráfico.

• Modelar situaciones mediante un sistema de ecuaciones lineales (2x2).

• Resolver problemas de la vida diaria utilizando sistemas de ecuaciones lineales.

​Recordar que una ecuación de 2 variables tiene infinitas soluciones.

• Una ecuación lineal de dos variables es una ecuación de la forma ​ax + by=0 donde a, b y c son constantes con a y b diferente de 0, x e y son variables.

• ​Ejemplos: 2x + y = 4

​ 3x - 4y = 9

Multiple Choice

¿En cuál de las siguientes alternativas muestra una ecuación lineal de dos variables?

• 2y = 14

• x – 3 = 4x

• 4x = 3y – 7

• (x + y)2 = 16z

Multiple Choice

Considera la siguiente ecuación: 4y + 2x = 16 ¿Cuál de los siguientes puntos es solución de la ecuación dada?

• (3,2)

• (2,3)

• (0,3)

• (3,0)

Multiple Choice

¿Cuántas soluciones pueden obtenerse en la ecuación 2x ─ 4y = 12?

• Ninguna.

• Sólo 1.

• Sólo 2.

• Infinitas.

• ​Una forma para poder graficar una ecuación es a través de la tabla de valores.

• ​En este método se le asignan valores a la variable x y se determina cuanto es la variable y.

​

Ejemplo:

• Realizar la gráfica para la siguiente ecuación: ​2x + y = 4

• ​Dejamos la ecuación en la forma de ecuación de la recta, y=mx+n, es decir, despejada en y, y = -2x + 4

​Recuerda que toda recta que pasa por el origen de coordenadas es decir por el punto (0, 0) se denominan función lineal y tiene la forma de y=mx, de lo contrario se denomina función afín con la forma y=mx+n.

Multiple Choice

¿Cuál de las siguientes alternativas representa a la función afín asociada a la ecuación:    4x + 2y = 6?

• 2x + y = 6

• y = -2x + 3

• y = 2x + 3

• 2y = -4x + 6

​Planteamiento de una ecuación de 2 variables

• ​En una granja entre gallinas y conejos se cuentan en total 50 cabezas y 140 patas. ¿Cuántas gallinas y conejos hay en la granja?

​Datos:

​Gallinas: x

​Conejos: y

​Como cada animal sólo tiene una cabeza podemos decir que: x + y = 50,

​Por otro lado, las gallinas tienen 2 patas y los conejos tienen 4 patas,

así podemos decir que: 2x + 4y = 140.

​Concluimos que el sistema que modela la situación es: x + y = 50

​ 2x + 4y = 140

Multiple Choice

El precio de 4kg de naranjas más 2 kg de plátano es de $8600. ¿ En cuál de las siguientes opciones se definen las variables y la expresión que representa la situación descrita?

• n: naranja.

  p: plátano.

  4n + 2p

• n: naranja.

  p: plátano.

  4n + 2p = 8600

• n: precio de un kg de naranja.

  p: precio de un kg de plátano.

  4n + 2p

• n: precio de un kg de naranja.

  p: precio de un kg de plátano.

  4n + 2p = 8600

Multiple Choice

En la fiesta del colegio el curso de Paulina vendió papas fritas en porciones cuyos precios eran de $350 y $550. Para realizar el conteo del dinero, Paulina preguntó a dos de sus compañeros sobre el total vendido y ellos le dieron las siguientes respuestas:

Andrea: en total recaudamos $13 800.

Pablo: se vendieron 44 porciones en total.

Con la información anterior, Paulina determinó el siguiente sistema de ecuaciones:

350x + 550y = 13 800

x + y = 44

¿Qué representa la variable x en el sistema de ecuaciones dado?

• La cantidad de porciones de papas fritas de $550 que se vendieron.

• La cantidad de porciones de papas fritas de $350 que se vendieron.

• La cantidad total de porciones de papas fritas que se vendieron.

• El total de dinero que se recaudó por la venta de papas fritas.

​Planteamiento de sistemas de ecuaciones con 2 variables.

El perímetro de un rectángulo es de 22 cm, y sabemos que su base es 5 cm más larga que su altura. Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo para hallar las dimensiones del rectángulo.​

​Solución:

Llamamos x a la base e y a la altura.

Multiple Choice

En un zoológico, hay 10 animales entre leones y tigres. Se sabe, además, que hay el doble de leones que tigres. Si l representa la cantidad de leones y t la cantidad de tigres, ¿cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones modela la situación descrita?

• l + t = 10

  l = 2t

• l + t = 10

  2l = t

• l + 2t = 10

  l = 2t

• 2l + t = 10

  2l = t

Multiple Choice

¿Qué sistema de ecuaciones permite modelar la siguiente situación?

La edad de Lucia es el triple de la edad de Teodoro. Si Teodoro en 2 años más tendrá la edad que Lucia tiene actualmente, ¿cuál es la edad de cada uno? Considera que “l” representa la edad de Lucia y “t” la edad de Teodoro.

• l = 3t

  l = t + 2

• 3l = t

  t + 2 = l

• 3l = t

  t + 2 = l + 2

• l = 3t

  l + 2 = t + 2

Multiple Choice

Pedro observa la siguiente información que aparece en el afiche de un cine.

Para su tarea de matemática, Pedro representa el sistema de ecuaciones que modela la situación como se muestra a continuación:

x + 2y = 5 000

5y + 3x = 13 500

¿Qué representa x en el sistema de ecuaciones descrito por Pedro?

• La cantidad de palomitas de maíz.

• La cantidad de bebidas que hay.

• El precio de un paquete de palomitas de maíz.

• El precio de cada vaso de bebida.

Multiple Choice

Constanza y Roberto compran entre los dos 18 chocolates. Roberto compró 3 chocolates más que Constanza, si x representa la cantidad de chocolates que compró Constanza, e y la cantidad que compró Roberto, ¿cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales modela esta situación?

• 𝑥+𝑦=18

  𝑥 − 𝑦=3

• 𝑥+𝑦=18

  𝑥 + 𝑦=3

• 𝑥+𝑦=18

  𝑦 =3+𝑥

• 𝑥+𝑦=18

  𝑥=3+𝑦

​Método gráfico

​Para resolver gráficamente un sistema de ecuaciones lineales, se representan en el plano cartesiano las rectas correspondientes a cada ecuación identificando el punto de intersección, en caso de que exista, como la solución del sistema de ecuaciones.

​

​Si las rectas son secantes, entonces el sistema tiene una única solución, la cual corresponde al punto de intersección de las rectas. En este caso se dice que el sistema es compatible.

Podemos decir entonces

Multiple Choice

Juanito al graficar el siguiente sistema de ecuaciones

3x-6y=6

-x+2y=2

obtuvo lo siguiente: (ver imagen).

¿Cuántas soluciones tiene el sistema graficado por Juanito?

• Ninguna.

• Sólo 1.

• Sólo 2

• Infinitas.

Multiple Choice

Valentina al graficar el siguiente sistema de ecuaciones

-x+2y=-4

-x+2y=2

Obtuvo lo siguiente: (ver imagen).

¿Cuántas soluciones tiene el sistema graficado por Valentina?

• Ninguna.

• Sólo 1.

• Sólo 2.

• Infinitas.

Multiple Choice

Observa la siguiente gráfica y determina: ¿cuáles son las coordenadas del punto solución del sistema de ecuaciones representado?

• (c, a)

• (d, b)

• (a, c)

• (b, d)

Multiple Choice

Para resolver el siguiente sistema de ecuaciones se utilizó el método gráfico y se representó solo una recta. Observa:

5x – 2y = 22

2x + 4y = 4

¿Cuál de las alternativas permite completar la resolución del sistema de ecuaciones?

Multiple Choice

¿Cuál es la solución del sistema de ecuaciones?

6x + 5y = 6

4y = 2x – 2

• (1, 0)

• (– 1, 0)

• (1, 1)

• (0, 1)

Multiple Choice

¿Cuál de los pares ordenados dados es solución del sistema de ecuaciones?

E1: x – y = 4

E2: 3x + 4y = 12

x e y son números enteros.

• (–4, 0)

• (4, 0)

• (0, 4)

• (0, -4)

Multiple Choice

Pamela fue en bicicleta desde su casa hasta la estación de tren a una rapidez de 3 km por hora. Después abordó el tren y viajó hasta la ciudad con una rapidez de 50 km por hora. Si la distancia total del viaje fue de 30 km y lo que recorrió en tren fue 5 veces lo que recorrió en bicicleta. ¿Cuántos kilómetros viajó Pamela en bicicleta?

• 5 km

• 25 km

• 27 km

• 50 km