𝔗𝔴𝔦𝔢𝔯𝔡𝔷𝔢𝔫𝔦𝔢 𝔓𝔦𝔱𝔞𝔤𝔬𝔯𝔞𝔰𝔞

Twierdzenie Pitagorasa

by Kinga Januszewska 2C

​Z A S T O S O W A N I E

​

​

Podstawowe zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa w zadaniach matematycznych:

• obliczanie przyprostokątnej

• obliczanie przeciwprostokątnej

• obliczanie przekątnej kwadratu

• obliczanie przekątnej prostokąta

• obliczanie wysokości w trójkącie równobocznym

• obliczanie innych odcinków, które budują trójkąt prostokątny

• sprawdzanie, czy trójkąt jest prostokątny. W zasadzie informuje nas o tym przedstawione niżej Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Pitagorasa.

​h i s t o r i a

​

• Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa znane było na długo przed Pitagorasem. W starożytnym Egipcie i Babilonie stosowano je ok. 4 tys. lat p.n.e. bez dowodu jako regułę wyznaczania kąta prostego.

• Twierdzenie Pitagorasa zostało udowodnione w Szkole Pitagorejskiej w VI w. p.n.e. Nie wiadomo, czy przez samego Pitagorasa, bo dla podniesienia rangi odkrycia uczniowie często nazywali twierdzenia nazwiskiem mistrza.

• Podczas prac nad dowodem twierdzenia Pitagorasa odkryto istnienie odcinków niewspółmiernych, czyli takich, których nie da się zmierzyć, używając tej samej jednostki (tzn. nie da się jej odłożyć całkowitą liczbę razy w każdym z nich). Dziś wiemy, że stosunek długości takich odcinków jest liczbą niewymierną. Z tym odkryciem wiąże się rozpad Szkoły Pitagorejskiej.

• Na przełomie XVIII i XIX w. matematyk niemiecki Karol Gauss odkrył, że jest to twierdzenie geometrii euklidesowej i nie zachodzi w geometriach nieeuklidesowych. 

​Twierdzenie

​

• W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

• Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

​

• Twierdzenie figuralne - jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól dowolnych figur podobnych zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu figury podobnej do poprzednich zbudowanej na przeciwprostokątnej (dowód jest łatwy, wystarczy rozważyć skale podobieństwa figur i skorzystać ze zwykłego twierdzenia Pitagorasa).

​C I E K A W O S T K I

1. To Babilończycy pozwolili ponoć wspiąć się na „szczyty wiedzy matematycznej”.

​2. Szkoła Pitagorasa nosiła nazwę „Półokrąg”.

​3. Filozofowie, którzy uczyli się w tej szkole nazywani byli mathematikoi.

​4. Matematyka związana była w oczach pitagorejczyków z mistyką.

​5. Pitagoras sądził, że liczby mają osobowość – męską lub żeńską a także piękną lub brzydką.

​6. Liczba 10 uważana była przez Pitagorasa za liczbę najlepszą. Zawierała w sobie 1 i 0, czyli symbol tak początku, jak i końca.

​7. Pitagoras w oczach niektórych przyjął rolę kogoś na kształt „zaklinacza zwierząt”.

​8. Jedna z legend głosi, że Pitagoras w niewielkim czasie oswoił napadającą na miasto, agresywną niedźwiedzicę, częstując ją plackiem i orzechami.

​9. Pitagorasowi przypisywano też zdolność mówienia „językiem zwierząt”.

​

​

​przykładowe zadanie 1

​Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ma długość 7,5 cm, a długość przeciwprostokątnej wynosi 12,5 cm. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

​

Mając dane długości przyprostokątnych, można wyliczyć pole i obwód trójkąta: P = 1/2 · 10 cm · 7,5 cm = 37,5 cm² L = 7,5 cm + 10 cm + 12,5 cm = 20 cm

Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi 37,5 cm², a obwód 20 cm.

​Przykładowe zadanie 2

​Drabina opiera się o budynek na wysokości 3 m. Jej dolny koniec jest odsunięty od ściany o 2 m. Jaka jest długość drabiny?

A. √2 m

B. √10 m

C. √5 m

D. √13 m

​

x² = 3² + 2² x = √13 [m]

Odpowiedź: D

​K O N I E C

​DZIEKUJE ZA UWAGE!