Teoría de conjuntos

Teoría de conjuntos

Lógica y pensamiento matemático

Jeny Paola Niño Garzón

Mg. En educación​

CUN - Bogotá, 2022

Definición

Conjunto es cualquier colección de objetos los cuales comparten una o varias características en común, dicha característica permite agrupar los objetos para formar un conjunto bien definido, para determinar si el objeto pertenece o no al conjunto. Ejemplos: Conjunto de números enteros, conjunto de números pares, conjunto de números primos, etc.

CUN - Bogotá, 2022

Nomenclatura

Para representar un conjunto de utilizan letras mayúsculas y las letras minúsculas para representar sus elementos, aun que esto nos es absolutamente necesario, estos elementos deben agruparse entre llaves {}.

​

Conjunto: Letras mayúsculas (A, B, C, D,…)

Elementos: Letras minúsculas (a, b, c, d, e, f, g,…)

​

Ejemplos:

A={Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes}

B={a,e,i,o,u}

CUN - Bogotá, 2022

Pertenencia

En la representación de conjuntos se utiliza el símbolo de pertenencia “∈” para indicar que un elemento pertenece a un conjunto, por ejemplo, si “x” es un elemento del conjunto “B”, se representa “x ∈ B” y se lee “x pertenece a B”, por lo contrario cuando un elemento no pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo “∉”, por ejemplo el elemento “y” no es un elemento del conjunto “B”, se representa ”y ∉ B” y se lee “y no pertenece a B”.

CUN - Bogotá, 2022

Representación de conjuntos

• Consiste en nombrar cada uno de sus elementos.

• Los elementos se encierran entre llaves y se separan con comas.

• Deben ser elementos finitos.

• Para conjuntos con pocos elementos.

CUN - Bogotá, 2022

​

​Extensión o enumeración

​

​Comprensión

​

​Diagrama de Venn

La representación se lleva acabo por medio de un predicado.

• El predicado hace referencia de una o varias características de los elementos.

• Para conjuntos de elementos infinitos.

• Es la representación de los conjuntos por medio de graficas.

• Los conjuntos se representan por medio de círculos.

• Los elementos de cada conjunto son incluidos en los círculos.

Ejemplos

• A={2,4,6,8,10}

• B={enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio}

• C={Juan, Pedro, María, Luis}

CUN - Bogotá, 2022

​Extensión o enumeración

​Comprensión

​Diagrama de Venn

• A={x|x es un número par menor a 10}

• B={x|x pertenece al primer semestre del año}

• C={x|x son alumnos del grupo A}

​2

10 4

​

6 ​

8

​

​

​

​A

​B

​C

​enero junio

febrero

marzo abril

mayo

​

Juan

María

​ Pedro

Luis

​

Teoría de conjuntos

CUN - Bogotá, 2022

​

​

​Elementos

​

• Son todos los integrantes que formar un conjunto.

​

• Ejemplo:

a, e, i, o, u son elementos del conjunto de las vocales.

​

​

​

​

Universo U

​

• Conjunto que delimita el alcance de los conjuntos.

​

• Ejemplos:

​

• U:{Letras del Alfabeto}

• U:{Todas las vocales}

Cardinalidad

​

• Determina el número de elementos de un conjunto.

​

• Ejemplo:

​

• A:{Todas las vocales}, entonces |A|=5

Teoría de conjuntos

CUN - Bogotá, 2022

​

​

​SubConjunto

​

• Se considera como subconjunto si cada elemento de A es un elemento de B y B tiene igual o más elementos que A.

​

• A ⊂ B

​

​

​

​

Conjunto Vacío

​

• Se le considera como conjunto vacío aquel conjunto que no contiene elementos.

​

• A = Փ

Conjunto Potencia

​

• Es la colección de todos los subconjuntos de A.

• Esto es, si • A ={1,2,3} entonces:

P(A)=2ⁿ

• P(A)= { Փ, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}.

Teoría de conjuntos

CUN - Bogotá, 2022

​

​

Conjunto unitario

​

• Se le considera como conjunto unitario aquel conjunto que solo contiene un elemento.

​

• A={x|x es el centro del sistema solar}

​

​

​

​

Conjunto finito

​Se le considera a un conjunto como finito cuando todos los elementos pueden ser considerados uno por uno ya sean reales o imaginarios.

Ejemplo: Dígitos del sistema binario. Integrantes de un salón de clases. Numero de Estados de la Republica.

Conjunto Infinito

​

Los conjuntos en los cuales no se puede considerar uno por uno sus elementos. Ejemplo: Números Enteros, Números primos, Números Pares.

Multiple Choice

Es la relación entre un conjunto y cualquiera de sus elementos

• Intersección

• Unión

• Muestra

• Pertenencia

Multiple Choice

 

Se le llama así a una colección de una clase particular o a cualquier agrupación o colección de objetos bien definidos

• Clase

• Muestra

• Conjunto

• Dato

Multiple Choice

 

En este método los elementos que conforman el conjunto son colocados dentro de llaves separados por comas

• Enumeración o extensión

• Descripción o compresión

• Unión o intersección

• Elemento o conjunto

Multiple Choice

En este método se enuncia una propiedad o atributo que caracterice a cada uno de los elementos del conjunto

• Enumeración o extesión

• Descripción o compresión

• Unión o intersección

• Elemento o conjunto

Multiple Choice

Conjunto que incluye todos los objetos que ocupan nuestra atención en la resolución de un problema

• Conjunto universo o dominio

• Conjunto vacío

• Conjunto de conjuntos

• Conjunto potencia

Multiple Choice

En este conjunto no se encuentra ningún elemento del universo

• Conjunto universo o dominio

• Conjunto vacío

• Conjunto de conjuntos

• Conjunto potencia

Multiple Choice

los elementos que conforman un conjunto son al mismo tiempo otros conjuntos

• Conjunto universo o dominio

• Conjunto vacío

• Conjunto de conjuntos

• Conjunto potencia

Multiple Choice

A todos los subconjuntos de un conjunto A se les denomina

• Conjunto universo o dominio

• Conjunto vacío

• Conjunto de conjuntos

• Conjunto potencia

​Operaciones entre conjuntos

Unión

La union de A y B es el conjunto de todos los elementos que están en A o en B (o en ambos).

A    B = {x | x    A o x    B}

Podemos representar la unión A    B por el siguiente diagrama de Venn:

CUN - Bogotá, 2022

​Operaciones entre conjuntos

​Intersección

La intersección de A y B es el conjunto de todos los elementos que están en A y también en B.

​

A    B = {x | x    A y x    B}

​

Podemos representar la intersección A    B por el siguiente diagrama de Venn:

CUN - Bogotá, 2022

​Operaciones entre conjuntos

Diferencia

La Diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

​

Se denota por A – B

 

 A - B = {x : x ∈ A ∧ x ∈/ B}

El conjunto A - B se lee “A menos B” y recibe también el nombre de complementario relativo del conjunto B respecto del conjunto A.

por el siguiente diagrama de Venn:

CUN - Bogotá, 2022

​Operaciones entre conjuntos

Complemento

Si A es un subconjunto de S, entonces A' es el complemento de A en S, el conjunto de todos los elementos de S que no están en A.

Podemos representar el complemento A' por el siguiente diagrama de Venn:

CUN - Bogotá, 2022

Ejercicio

CUN - Bogotá, 2022

Bibliografía

CUN - Bogotá, 2022

• https://www.uaeh.edu.mx/docencia/P_Presentaciones/huejutla/sistemas/2018/Teoria_de_Conjuntos.pdf

  ​

• https://profesorezequielruizgarcia.files.wordpress.com/2016/01/teoria-de-conjuntos-y-subconjuntos-presentacion-inicial-con-10-ejercicios.ppt