การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว

​พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนในรูป  ax² + bx + c  เมื่อ  a , b , c   

เป็นค่าคงตัวที่  a ≠ 0  และ  x  เป็นตัวแปร

​ตัวอย่าง

3x²+ 4x + 5 (a = 3 , b = 4 , c = 5)

2x²– 6x – 1 (a = 2 , b = -6 , c = -1)

x²– 9 (a = 1 , b = 0 , c = -9)

y²+ 3y – 7 (a = 1 , b = 3 , c = -7)

-y²+ 8y (a = -1 , b = 8 , c = 0)

การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสองและมีตัวแปรเดียวที่แต่ละพจน์มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว

​รูป  ax² + bx + c  เมื่อ  a , b  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  =  0

​ตัวอย่างที่ 1   จงแยกตัวประกอบของ  x² + 2x

            วิธีทำ  x² + 2x       =   (x)(x) + (2)(x) 

                                                 =   x(x + 2) 

กรณีที่  c = 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป  ax²+ bx  สามารถใช้สมบัติการแจกแจงแยกตัวประกอบได้

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว

​รูป  ax² + bx + c  เมื่อ  a , b  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  =  0

​ตัวอย่างที่ 2   จงแยกตัวประกอบของ  4x² - 20x

        วิธีทำ 4x² - 20x      =   (4x)(x) - (4x)(5)

                                                 =   4x(x - 5)

ในกรณีที่  c = 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป  ax²+ bx  สามารถใช้สมบัติการแจกแจงแยกตัวประกอบได้

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว

​รูป  ax² + bx + c  เมื่อ  a , b  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  =  0

​ตัวอย่างที่ 3   จงแยกตัวประกอบของ  -4x² - 6x

           วิธีทำ            -4x² - 6x      =   -2x(2x + 3)

                     หรือ     -4x² - 6x     =    2x(-2x - 3)

ในกรณีที่  c = 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป  ax²+ bx  สามารถใช้สมบัติการแจกแจงแยกตัวประกอบได้

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว

​รูป  ax² + bx + c  เมื่อ  a , b  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  =  0

​ตัวอย่างที่ 4   จงแยกตัวประกอบของ  -15x² + 12x

วิธีทำ            -15x² + 12x    =   (3x)(-5x) + (3x)(4)

=   3x(-5x + 4)

หรือ     -15x² + 12x  =   (-3x)(-5x) - (-3x)(4)    

=   -3x(5x - 4)

ในกรณีที่  c = 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป  ax²+ bx  สามารถใช้สมบัติการแจกแจงแยกตัวประกอบได้

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว

​รูป  ax² + bx + c  เมื่อ  a = 1 , b  และ  c  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  ≠  0

• ในกรณีที่   a = 1  และ  c ≠ 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว จะอยู่ในรูป x²  +  bx  +  c​

​ตัวอย่างที่ 5  (x + 2)(x + 3)  =  (x + 2)(x) + (x + 2)(3)   (หาผลคูณ  ของพหุนาม)                        

=  (x² + 2x)+ [3x + (2)(3)]  

=  x² + (2x+ 3x) + (2)(3)

=  x² + (2+ 3)x + (2)(3)                                                   

=  x² + 5x + 6

                        ดังนั้น  แยกตัวประกอบของ  x² + 5x + 6  ได้ดังนี้   x² + 5x + 6   = (x + 2)(x + 3) 

แยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้ อาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม 

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว

​รูป  ax² + bx + c  เมื่อ  a = 1 , b  และ  c  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  ≠  0

• ในกรณีที่   a = 1  และ  c ≠ 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว จะอยู่ในรูป x²  +  bx  +  c​

​ตัวอย่างที่ 5   x² + 5x + 6   =  x² + (2 + 3)x + (2)(3)         [ 2 + 3 = 5  และ  (2) × (3) = 6 ]

          วิธีทำ     =  x² + (2x + 3x) + (2)(3)

=  (x² + 2x) + [3x + (2)(3)]   

=  (x + 2)x + (x + 2)

=  (x + 2)(x + 3)

นั่นคือ     x² + 5x + 6  =  (x + 2)(x + 3)       

แยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้ อาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม 

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว

​รูป  ax² + bx + c  เมื่อ  a = 1 , b  และ  c  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  ≠  0

• ในกรณีที่   a = 1  และ  c ≠ 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว จะอยู่ในรูป x²  +  bx  +  c​

​ตัวอย่างที่ 6  (x + 4)(x – 5)   =  (x + 4)(x) + (x + 4)(-5)                                         

=   (x² + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]                                         

=   x² + [4x + (-5)x] + (4)(-5)                                         

=   x² + [4 + (-5)] x + (4)(-5)                                         

=   x² + (-1)x + (-20)  

=   x²  -  x  - 20        ดังนั้น   แยกตัวประกอบของ    x² - x - 20   ได้ดังนี้  x² - x - 20   = (x + 4)(x – 5)

แยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้ อาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม 

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว

​รูป  ax² + bx + c  เมื่อ  a = 1 , b  และ  c  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  ≠  0

• ในกรณีที่   a = 1  และ  c ≠ 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว จะอยู่ในรูป x²  +  bx  +  c​

​ตัวอย่างที่ 6  โดยทำขั้นตอนย้อนกลับในทำนองเดียว x²- x – 20    =   x² + (-1)x + (-20)

=   x² + [4 + (-5)] x + (4)(-5)   [4 + (-5) = -1   และ  (4)(-5) = -20 ]               

=   x² + [4x + (-5)x] + (4)(-5)

=   (x² + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]

=   (x + 4)x + (x + 4)(-5)

=   (x + 4)[x + (-5)]

=   (x + 4)(x -5 นั่นคือ         x² - x - 20   =   (x + 4)(x - 5)

แยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้ อาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม 

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว

​กรณีทั่วไป สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป   x² + bx + c  เมื่อ  b , c  

เป็นจำนวนเต็ม และ  c ≠ 0  ได้  ถ้าเราสามารถหา  จำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่ เป็นค่าคงตัวคือ  c  และ บวกกันได้ เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ  x  คือ  b

x² + bx + c  เมื่อ  b , c เป็นจำนวนเต็ม และ  c ≠ 0

​ถ้าให้  m  และ  n  เป็นจำนวนเต็มสองจำนวนซึ่ง mn  = c  และ m+n  =  b  

                จะได้ว่า     x² + bx + c    =    (x + m)(x + n)

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว

​ตัวอย่างที่ 7    จงแยกตัวประกอบของ  x² – 10x + 21

              วิธีทำ              เนื่องจาก (-3)(-7)   =   21   และ (-3) + (-7)   =   -10

                         ดังนั้น     x² – 10x + 21    =   [ x + (-3)][ x + (-7)] 

                        นั่นคือ     x² – 10x + 21    =  ( x -3 )( x -7 )     

x² + bx + c  เมื่อ  b , c เป็นจำนวนเต็ม และ  c ≠ 0

​ ถ้าให้  m  และ  n  เป็นจำนวนเต็มสองจำนวนซึ่ง mn  = c  และ m+n  =  b  

                จะได้ว่า     x² + bx + c    =    (x + m)(x + n)

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว

​ตัวอย่างที่ 8        จงแยกตัวประกอบของ  x² + 5x - 6

              วิธีทำ              เนื่องจาก  (-1)(6)   =   - 6        และ     (-1) + (6)   =    5

ดังนั้น     x² + 5x - 6    =   [ x + 6][ x + (-1)]

นั่นคือ     x² + 5x - 6    =  ( x + 6 )( x - 1 )   ​

x² + bx + c  เมื่อ  b , c เป็นจำนวนเต็ม และ  c ≠ 0

​ ถ้าให้  m  และ  n  เป็นจำนวนเต็มสองจำนวนซึ่ง mn  = c  และ m+n  =  b  

                จะได้ว่า     x² + bx + c    =    (x + m)(x + n)

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว

​ตัวอย่างที่ 9        จงแยกตัวประกอบของ  x² - 2x - 24

                 วิธีทำ              เนื่องจาก  (4)(-6)   =   - 24     และ        (4) + (-6)   =    -2

ดังนั้น     x² - 2x - 24   =   ( x + 4 ) [ x + (-6)]

นั่นคือ    x² - 2x - 24    =   ( x + 4 )( x - 6 ) ​

x² + bx + c  เมื่อ  b , c เป็นจำนวนเต็ม และ  c ≠ 0

​ ถ้าให้  m  และ  n  เป็นจำนวนเต็มสองจำนวนซึ่ง mn  = c  และ m+n  =  b  

                จะได้ว่า     x² + bx + c    =    (x + m)(x + n)

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว

​ตัวอย่างที่ 10         จงแยกตัวประกอบของ  x² - 9

                 วิธีทำ              เนื่องจาก  (-3)(3)   =   -9      และ     (-3) + 3   =    0

ดังนั้น   x² - 9    =   [ x + (-3)]( x + 3)

นั่นคือ   x² - 9    =   ( x - 3 )( x + 3 )

x² + bx + c  เมื่อ  b , c เป็นจำนวนเต็ม และ  c ≠ 0

​ ถ้าให้  m  และ  n  เป็นจำนวนเต็มสองจำนวนซึ่ง mn  = c  และ m+n  =  b  

                จะได้ว่า     x² + bx + c    =    (x + m)(x + n)

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว

​ ศึกษาเนื้อหาเพิ่มเติม ตามลิ้งนี้ได้เลย

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว ตอนที่ 1 - โครงการสอนออนไลน์ - Project 14 (ipst.ac.th)​

​การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว ตอนที่ 2 - โครงการสอนออนไลน์ - Project 14 (ipst.ac.th)