Împărțirea polinomială

Algoritmul de împărțire

Teoremă

Fie f(x) și g(x) două funcții polinomiale și să presupunem că g(x) este un polinom nenul. Apoi, există funcții polinomiale unice q(x) și r(x) astfel încât

f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)

adevărată pentru toate valorile lui x și r(x) este fie o constantă zero, fie un polinom de grad mai mic decât gradul lui g(x).​

Fill in the Blanks

Împărțiți 6x⁴ + 5x³ + 4x-4 la 2x² + x-1.

Soluție

Folosind împărțirea lungă, avem următoarele:

Acum, din moment ce 4x-3 are un grad mai mic decât 2x² + x-1, ne putem opri aici. Astfel, putem concluziona că 3x² + x + 1 este polinomul cât și 4x-3 este polinomul rest, ceea ce implică

6x⁴+5x³+4x-4=(2x²+x-1)(3x²+x+1)+4x-3.​

Împărțire sintetică

Împărțirea sintetică este un proces de găsire a câtului și a restului la împărțirea unui polinom printr-un binomial liniar monic (un polinom de forma x-k). Luați în considerare împărțirea lui x² + 2x + 6 la x-1.

În primul rând, prin algoritmul de împărțire lungă:

Așa arată aceeași împărțire cu împărțire sintetică:

Teorema factorului rest

Teorema restului

Pentru un polinom f(x), restul lui f(x)la împărțirea cu x-c e f(c). ​

Demonstrație

Prin împărţirea lui f(x) la x-c, obținem f(x)=(x-c)q(x)+r(x), unde r(x) este restul. Pentru că x-c are gradul 1, rezultă că restul r(x) are gradul 0 și, prin urmare, este o constantă. Fie r(x)=R. Înlocuind x = c, obținem f(c)=(c-c)q(c)+R=R. Astfel R = f(c) astfel cum s-a susținut.

Teorema factorului

Fie f(x) un polinom astfel încât f(c) = 0 pentru unele constante c. Apoi x-c este un factor al lui f(x). În schimb, dacă x-c este un factor al lui f(x), atunci f(c)=0.​

Demonstrație

Direcția înainte:
Din f(c)=0, până la teorema restului, avem f(x) = (x-c)h(x) + R = (x-c)h(x). Prin urmare x-c este un factor al lui f(x).

Direcția înapoi:
Dacă x-c este un factor al lui f(x), atunci (prin definiție) restul lui f(x) la împărțirea cu x-c ar fi 0. Prin teorema restului, aceasta este egală cu f(c). Prin urmare f(c)=0.​

Notă: Nu există restricții privind constanta c. Ar putea fi un număr real, un număr complex sau chiar o matrice!

Teorema factorului restului este adesea folosită pentru a ajuta la factorizarea polinoamelor fără utilizarea împărțirii lungi. Atunci când este combinată cu teorema rădăcinilor raționale, acest lucru ne oferă un instrument puternic de factorizare.

Fill in the Blanks

Găsiți restul împărțirii polinomiale $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ ​folosind teorema restului, unde f(x)=x³-2x²+8x, g(x)=x+2.

Soluție

Pentru că x+2=x-(-2),

f(-2) =(-2)³-2⋅(-2)²+8⋅(-2) =-8-8-16 =-32.

Deci -32 este restul atunci când x³-2x² + 8x este împărțit la x+2. ​

Fill in the Blanks

$\frac{x^{2015}+1}{x-1}=?$

Care este restul împărțirii lui x²⁰¹⁵ + 1 la x-1?

Sugestie : Acest lucru ar trebui să vă ia nu mai mult de 5 secunde pentru a vă da seama de răspuns!

Soluție

Fill in the Blanks

Găsiți valoarea lui k astfel încât f(x)=x³+2x²-3kx-10 la împărțirea cu x +3 are un rest de 8.

Soluție

Fill in the Blanks

Când polinomul f(x) se împarte la x+2, restul este 3 și când f(x) este împărțit la x-1, restul este 2. Găsiți restul când f(x) este împărțit la(x +2) (x-1).

Soluție

Fill in the Blanks

Când polinomul p(x)=ax⁴+bx³+cx-8 este împărțit la x-1, restul este 2. Dacă x+1 și x-2 sunt factori ai lui p(x), care sunt lui a, b și c?

Soluție

Bibliografie

Divizia polinomială. Brilliant.org. 14:33, 04 decembrie 2022, de lahttps://brilliant.org/wiki/polynomial-division/