Разложение многочленов

Разложение многочленов

на множители

Что такое разложение многочлена на множители и зачем

оно нужно

Обычно в таких случаях говорят, что многочлен

удалось разложить на множители.

(3x – 5)(х + 4) =

(3x – 5)(х + 4) = 3x2+ 7х – 20

3x2+ 7х – 20 = (3x – 5)(х + 4)

или

3x2+ 12х – 5х – 20 = 3x2+ 7х – 20

Что такое разложение многочлена на множители и зачем

оно нужно

Если произведение двух множителей равно нулю, то один из

множителей равен нулю:

3x2+ 7х – 20 = 0
(3x – 5)(х + 4) = 0

3x – 5 = 0

или

х + 4 = 0

3x = 5
x = 5/3

х = -4

Ответ: -4; 5/3.

Решить уравнение:

Что такое разложение многочлена на множители и зачем

оно нужно

=
-
-

2

2

2

2

39

61

47

53
(

)(

)

(

)(

)=
+

-

+

-

39

61

39

61

47

53

47

53
=
×
×

100

22

100

6

11
3

(

) =

-

1090

113

977

2

2

Из материалов ЕГЭ по математике:

(

)(

) =

+

-

1090

113

977

113

977

864
1090

1090

864
=
×
=

Вынесение общего множителя за скобки

3x + 12у =

3(x + 4у)

а5– а3=

а3 (а2– 1)

5x4+ 10х2=

5х2 (x2+ 2)

9т4+ 6т2– 15т3=

3т2 (3т2+ 2 – 5т)

16а4с5– 12а2с4=

4а2с4 (4а2с – 3)

Вынести за скобки общий множитель:

Вынесение общего множителя за скобки

1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех

одночленов, входящих в многочлен, ‒ он и будет общим
числовым

множителем

(разумеется,

это

относится

только к случаю целочисленных коэффициентов).

2. Найти

переменные,

которые

входят

в

каждый

член

многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из
имеющихся) показатель степени.

3. Произведение коэффициента, найденного на первом шаге,

и степеней, найденных на втором шаге, является общим
множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Алгоритм отыскания общего множителя

нескольких одночленов:

Вынесение общего множителя за скобки

5,6x + 1,4у =

1,4(4x + у)

0,65а5– 0,13а3=

0,13а3 (5а2– 1)

=

+

-

c

b

a
9
11

9
2

9
4
(

)
c

b

a

11

2

4
9
1
+

-

Замечание. В ряде случаев полезно выносить за скобку в
качестве общего множителя и дробный коэффициент.

Вынести за скобки общий множитель:

‒х4у3‒ 2х3у2+ 5х2=

5а4– 10а3+ 15а5=

Разложить на множители:

5а3(а – 2 + За2)

2x (x – 2) + 5 (x – 2)2=

2x (x – 2) + 5(x – 2)(x – 2) =

= (x – 2)(2x + 5(x – 2)) =

(x – 2)(2x + 5x – 10) =

= (x – 2)(7x – 10)

‒х2 (х2у3+ 2ху2‒ 5)

Вынесение общего множителя за скобки

Способ группировки

2а2+ 6а + ab + 3b =

Разложить на множители многочлен:

ху – 6 + Зx – 2у =

(ху + 3x) + (– 6 – 2у) =

(2а2+ 6а) + (ab + 3b) =

= 2а (а + 3) + b (a + 3) =

(а + 3) (2а + b)

= x (у + 3) – 2 (3 + у) =

(у + 3) (x – 2)

Способ группировки

аb2– 2аb + За + 2b2– 4b + 6 =

Разложить на множители многочлен:

= (b2– 2b + 3) (а + 2)

= (аb2– 2аb + За) + (2b2– 4b + 6) =

= а (b2– 2b + 3) + 2 (b2– 2b + 3) =

Способ группировки

х2– 7x + 12 =

Разложить на множители многочлен:

= (x – 3)(x – 4)

= (х2– Зх) + (– 4x + 12) =

x (x – 3) – 4 (x – 3) =

х2– Зx – 4x + 12 =

Способ группировки

х2– 7x + 12 = 0

Решить уравнение:

(x – 3)(x – 4) = 0

x – 3 = 0

x – 4 = 0

или

x = 3

x = 4

Ответ: 3; 4.

Способ группировки

x3– 2x2+ Зx – 6 = 0

Решить уравнение:

(x – 2)(x2+ 3) = 0

x – 2 = 0

x2+ 3 = 0

или

x = 2

нет решений

Ответ: 2.

x3– 2x2+ Зx – 6 =

(x3– 2x2) + (Зx – 6) =

= x2(x – 2) + 3(х – 2) =

(х – 2)(x2+ 3)

Разложение многочлена на множители с помощью

формул сокращённого умножения

Формулы сокращенного умножения:

1.

a2 + 2ab + b2= (a + b)2– квадрат суммы

2.

a2 – 2ab + b2= (a – b)2– квадрат разности

3.

a2– b2= (a – b)(a + b) – разность квадратов

4.

a3– b3= (a – b)(a2 + ab + b2) – разность кубов

5.

a3+ b3= (a + b)(a2 – ab + b2) – сумма кубов

6.

a3 + 3a2b + 3ab2+ b3= (a + b)3– куб суммы

7.

a3 – 3a2b + 3ab2– b3= (a – b)3– куб разности

Разложение многочлена на множители с помощью

формул сокращённого умножения

36x2– 64 =

Разложить на множители:

= ((3x – 2) – 7)((3x – 2) + 7)

(6x)2– 82=

(6х – 8)(6x + 8)

(3x – 2)2– 49 =

(3х – 2)2– 72=

= (3x – 9)(3x + 5)

81а8– 625с4=

(9а4)2– (25с2)2=

=(9а4– 25с2)(9а4+ 25с2)=

a2– b2= (a – b)(a + b)

= (3а2– 5с)(3а2+ 5с)(9а4+ 25с2)

((3а2)2– (5с)2)(9а4+ 25с2)=

Разложение многочлена на множители с помощью

формул сокращённого умножения

27x3– 64 =

Разложить на множители:

= (6n + m2)(36n2– 6m2n + m4)

(3x)3– 43=

(3х – 4)(9x2+ 12x + 16)

216n3+ m6=

(6n)3+ (m2)3=

а12– с6=

(а4)3– (с2)3=

(а4– с2)(а8+ a4с2+ c4)=

a3– b3= (a – b)(a2+ аb + b2)

= (а2– с)(а2+ с)(а8+ a4с2+ c4)

= ((а2)2– с2)(а8+ a4с2+ c4)=

Разложение многочлена на множители с помощью

формул сокращённого умножения

25x2– 20x + 4 =

Разложить на множители:

= (n2+ 2m)2

(5x)2– 2 · 5x · 2 + 22=

(5х – 2)2

n4+ 4mn2+ 4m2 =

(n2)2+ 2n2 · 2m + (2m)2=

16а8– 8a4c3+ с6=

= (4а4– с3)2

(4а4)2– 2 · 4а4 · с3+ (c3)2=

a2+ 2ab + b2= (a + b)2

a2– 2ab + b2= (a – b)2