Relazioni e Funzioni

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Relazioni

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Che cos’è una relazione

Dati gli insiemi A e B, non vuoti, si definisce una relazione da A a B
quando viene indicato un procedimento che associa a degli
elementi di A degli elementi di B.

ESEMPIO

● A è l’insieme di partenza

della relazione,

● B è l’insieme di arrivo.

Dati a

A e b B, se a è in

relazione con b scriveremo a R b.

-2R 4, 1R 1, 2R 4

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Immagini e controimmagini

Se a R b, diciamo che b è immagine di a e che a è
controimmagine di b.

ESEMPIO

● «1 è immagine di 1»
● «4 è immagine sia di 2 sia di -2»
● «2 è controimmagine di 4»
● «-2 è controimmagine di 4»
● «1 è controimmagine di 1»

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Dominio e insieme immagine

Data una relazione da A a B, chiamiamo:

•dominio il sottoinsieme D di A formato dagli elementi di A che
hanno almeno una immagine in B;

•insieme immagine il sottoinsieme I di B formato dagli elementi di B
che sono immagini di elementi di A.

ESEMPIO

D = {-2,1, 2}

I = {1, 4}

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Relazioni e prodotto cartesiano

ESEMPIO

Per gli insiemi A e B scriviamo il prodotto
cartesiano:

A x B = { (-2; 1), (-2; 2), (-2; 4), (1; 1), (1; 2), (1;
4), (2; 1), (2; 2), (2; 4), (3; 1), (3; 2), (3; 4) }

Le coppie che soddisfano la relazione sono un
sottoinsieme di A x B.

Una relazione tra due insiemi A e B è un sottoinsieme di A x B.

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Rappresentazione di una relazione

ESEMPIO

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Open Ended

Rappresenta in forma sagittale e tramite una tabella a doppia entrata la seguente relazione binaria e scrivi le coppie in relazione

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Relazioni definite su un insieme

ESEMPIO

Se l’insieme di partenza A coincide con l’insieme di arrivo B, si parla
di relazione definita in un insieme.

Possiamo rappresentare una relazione definita in un insieme con un
grafo, cioè un diagramma a frecce.

Si costruisce usando dei punti, detti nodi, che rappresentano gli
elementi dell’insieme A, e una freccia per ogni coppia in relazione.

Dato l’insieme A = { a, b, c, d },
rappresentiamo con un grafo la relazione:

{(a; c), (b; b), (c; d), (d; a), (d; c)}.

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Open Ended

Costruisci il grafo della relazione definita nell’insieme A, R : «x non ha divisori in comune con y, escluso 1»

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Relazione inversa

Data una relazione R tra gli insiemi A e B, ne esiste un’altra tra B
e A che si ricava dalla prima scambiando i due elementi di ogni
coppia di R.

Tale relazione si chiama relazione inversa e si indica con R -1.

ESEMPIO

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Open Ended

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Proprietà riflessiva

Una relazione R definita in un insieme A è riflessiva se ogni
elemento di A è in relazione con se stesso: «x R x, ∀ x

A».

ESEMPIO

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Proprietà antiriflessiva

Una relazione R definita in un insieme A è antiriflessiva se ogni
elemento di A non è in relazione con se stesso: «x R x, ∀ x ∈ A».

ESEMPIO

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Una relazione R definita in un insieme A è simmetrica se, per ogni
coppia x e y di elementi con x in relazione con y, anche y è in
relazione con x: «se x R y, allora y R x».

Proprietà simmetrica

ESEMPIO

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Proprietà antisimmetrica

Una relazione R definita in un insieme A è antisimmetrica se, per ogni
coppia x e y di elementi diversi tra loro con x in relazione con y, è vero
che y non è in relazione con x: «se x R y, allora y R x, con x ≠ y».

ESEMPIO

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Proprietà transitiva

Una relazione R definita in un insieme A è transitiva se ogni volta che
x è in relazione con y e y è in relazione con z, è vero che x è in
relazione con z: «se x R y e y R z, allora x R z».

ESEMPIO

Consideriamo un insieme di studenti.

● La relazione definita su tale insieme x R y da «x e y sono nella

stessa classe» è transitiva.

● La relazione definita su tale insieme x R y da «x è in una classe

diversa da quella di y» non è transitiva.

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Open Ended

In figura è rappresentata una relazione mediante un grafo.   

. Completa il grafo (aggiungendo opportune frecce) in modo che la relazione descritta risulti   riflessiva.

b.    Ricopia la figura originale e completa il grafo in modo che la relazione descritta risulti        simmetrica.

c.    Ricopia nuovamente la figura originale e completa il grafo in modo che la relazione descritta            risulti transitiva.

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Relazioni di equivalenza

Una relazione definita in un insieme è una
relazione di equivalenza se è:

●riflessiva,
●simmetrica,
●transitiva.

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Open Ended

Stabilisci quali fra i seguenti grafi rappresentano relazioni di equivalenza

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Classi di equivalenza

Data una relazione di equivalenza su un insieme A, possiamo
considerare i sottoinsiemi di A formati dagli elementi fra loro
equivalenti.

Prendiamo tutti i possibili sottoinsiemi di questo tipo, abbiamo che:

●nessun sottoinsieme è vuoto;
●due sottoinsiemi diversi non hanno elementi in comune;
●l’unione di tutti i sottoinsiemi è l’insieme A.

Ognuno dei sottoinsiemi degli elementi in relazione è detto classe
di equivalenza.

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Insieme quoziente

L’insieme di tutti i sottoinsiemi che contengono gli elementi di A in
relazione tra loro, cioè l’insieme delle classi di equivalenza, è
detto insieme quoziente.

ESEMPIO

L’insieme dei numeri razionali è l’insieme quoziente che si ottiene
considerando le classi di equivalenza definite sull’insieme delle
frazioni mediante la «relazione di frazioni equivalenti».

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Relazioni d’ordine

Una relazione definita in un insieme è una relazione d’ordine se è

●antisimmetrica,
●transitiva.

Inoltre si dice d’ordine

stretto se è anche antiriflessiva.

largo se è anche riflessiva.

Infine si dice d’ordine

parziale se non è totale.

totale se comunque presi due
elementi dell’insieme, almeno uno
dei due è in relazione con l’altro.

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Funzioni

Una relazione dall’insieme A all’insieme B è una funzione se a ogni
elemento di A associa un solo elemento di B.

ESEMPIO

Per indicare una funzione dall’insieme A all’insieme B scriviamo

f : A

B

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Open Ended

Rappresenta con un diagramma cartesiano le funzioni definite mediante le rappresentazioni sagittali seguenti

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Funzioni numeriche

Chiamiamo funzione numerica una funzione in
cui dominio e insieme immagine sono insiemi di
numeri.

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Espressione analitica

Spesso le funzioni numeriche possono essere descritte mediante
un’espressione analitica, cioè un’espressione algebrica che lega gli
elementi del dominio a quelli dell’insieme immagine.

ESEMPIO

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Open Ended

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