ALJABAR

ALJABAR

1) Pengertian Aljabar

Aljabar berasal dari Bahasa Arab "al-jabr" yang berarti "pertemuan, hubungan, atau perampungan" adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generaliasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang.

Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kualitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk mempresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangaan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui.

1

Matematika Kelas 7

​2) Bentuk Aljabar dan Rumus Aljabar

2

Matematika Kelas 7

Aljabar memiliki bentuk yang terdiri dari bentuk-bentuk yang disusun dari suku-suku.

Contoh aljabar :

ax² + bx + c 

Bentuk aljabar di atas memiliki 3 suku, dimana a koefisien dari x², b koefisien dari x, dan c adalah kostanta. Sedangkan x yaitu variabel.

3x + 4y +5 

Bentuk aljabar di atas memiliki tiga suku di mana 3 koefisien dari y dan 5 adalah kostanta, x dan y adalah variabel.

Apakah yang disebut dengan suku, kostanta, dan juga variabel?

​a. Pengertian Variabel, Kostanta, dan Suku pada Bentuk Aljabar

Variabel atau perubah adalah lambang yang menunjukan satu atau sekumpulan bilangan.

Koefisien adalah bilangan yang menyertai variabel.

Sedangkan untuk kostanta adalah lambang suatu bilangn tertentu yang tidak dituliskan dengan perubah.

Suku-suku adalah bilangan dan perubah yang dihubungkan oleh tanda penjumlahan atau pengurangan.

3

Matematika Kelas 7

b. Bentuk Suku Banyak

Bentuk suku banyak adalah seperti dibawah ini :

a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + a_n-2 x^n-2 + ... + a₁ x + a₀

Contoh :

• 1 jika n = 0, suku banyak di atas menjadi a₀ yang disebut suku satu dengan pangkat tertinggi variabelnya (x) adalah nol.

• 3x + 6 jika n = 1, suku banyak di atas menjadi a_1x + a₀ yang disebut suku dua (binom) dengan pangkat tertinggi variabelnya (x) adalah satu.

• 4x² - 2x +9 jika n = 2, suku banyak di atas menjadi a² x² + a¹ x + a₀ yang disebut suku tiga (trinom) dengan pangkat tertinggi variabelnya (x) adalah dua.

4

Matematika Kelas 7

c. Pecahan Bentuk Aljabar

5

Matematika Kelas 7

3) Operasi Hitung Bentuk Aljabar

6

Matematika Kelas 7

7

Matematika Kelas 7

b. Perkalian dan Pembagian Aljabar

8

Matematika Kelas 7

9

Matematika Kelas 7

Sebuah halaman rumah yang berbentuk segi panjang memiliki lebar (n + 2)dan panjangnya

(6n + 2), maka hitunglah Luas tanah tersebut dan apabila variabel n = 2 !

Penyelesaian :

Diketahui :

P = 6n + 2

L = n + 2

Ditanya :

- Luas tanah ?

- P dan L, jika n = 2 ?

10

Matematika Kelas 7

11

Matematika Kelas 7

12

Matematika Kelas 7

13

Matematika Kelas 7

14

Matematika Kelas 7

15

Matematika Kelas 7

. Pangkat Tinggi dari Suku Dua

Untuk pangkat tinggi dari suku dua, bentuk aljabar ini meliputi perpangkatan yang lebih dari, yaitu (a + b)³, (a + b)⁴, (a + b)⁵, ... dan seterusnya.

Bentuk aljabar pangkat tinggi dari suku dua :

(ax + by), maka akan berlaku : (ax + by)ⁿ = (ax + by) (ax + by) (ax + by) ... (ax + by)

Dimana (ax + by) sebanyak n.

Contoh soal :

1. (2a)² = (2a) (2a)

= 4a²

2. (3xy)³ = (3xy) (3xy) (3xy)

= 9x³y³

3. (-2ab)⁴ = (-2ab) (-2ab) (-2ab) (-2ab)

= 8a⁴b⁴

16

Matematika Kelas 7

​4) Faktorisasi Aljabar

a. Faktorisasi ax + ay dan ax - ay

Untuk memfaktorkan ax + ay dan ax - ay adalah menuliskan ax + ay dan ax - ay dalam bentuk perkalian faktor-faktornya. Dari hukum distribusi didapatkan a (x + y) = ax + ay atau ax + ay = a (x + y).

Dapat diambiol kesimpulan bahwa a dan (x + y) adalah faktor dari (ax + ay).

Conto :

• 5x + 10y = 5(x + 2y)

• 4x² + 4xy = 4x(x + y)

17

Matematika Kelas 7

b. Faktorisasi x² + 2xy + y² dan x² - 2xy + y²

Faktorisasi ini bisa diselesaikan dengan menggunakan sifat distribusif. Maka untuk memfaktorkan bentuk aljabar x² + 2xy +y² bisa diselesaikan dengan cara berikut :

x² + 2xy + y² = x² + xy + xy + y²

= (x² + xy) + (xy + y²)

= x(x + y) + y(x + y)

= (x + y) (x + y)

= (x + y)²

Lalu untuk memfaktorkan x² - 2xy + y² bisa diselesaikan dengan cara berikut :

x² - 2xy + y² = x² - xy -xy + y²

= (x² - xy) - (xy - y²)

= x(x - y) - y(x - y)

= (x - y) (x - y)

= (x - y)²

18

Matematika Kelas 7

Contoh :

1. x² - 6x + 9 = x² - 3x - 3x + 9

= (x² - 3x) - (3x - 9)

= x(x - 3) - 3(x - 3)

= (x - 3) (x - 3) = (x - 3)²

2. p² - 18p + 81 = p² - 9p - 9p + 81

= (p² - 9p) - (9p - 81)

= p(p - 9) - 9(p - 9)

= (p - 9) (p - 9) = (p - 9)²

3. b² + 6b + 9 = b² + 3b + 3b + 9

= (b² + 3b) (3b + 9)

= b(b + 3) + 3(b + 3)

= (b + 3) (b + 3)

= (b + 3)²

19

Matematika Kelas 7

c. Faktorisasi x² - y²

Bentuk aljabar yang terdiri dari dua suku dan merupakan selisih dua kuadrat mampu dijabarkan sebagai berikut :

x² - y² = x² + (xy + xy) - y²

= (x² + xy) - (xy + y²)

= x(x + y) - y(x + y)

= (x + y) (x - y)

Contoh soal :

1. 3p² - 12 = 3(p² - 4)

= 3(p - 2) (p + 2)

2. x² - 25 = x² - (5)²

= (x + 5) (x - 5)

3. 64a² - 9 = (8a)² - (3)²

= (8a + 3) (8a - 3)

20

Matematika Kelas 7

d. Faktorisasi x² + bx + c

Umumnya, x² + bx + c dapat difaktorkan menjadi (x + p) (x + q) = x² + (p + q)x + pq dengan p + q = b dan pq = c.

Jadi, saat ingin melakukan pemfaktoran x² + bx + c, kamu harus mencari dua bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya c.

Contoh :

1. 2x² + 7x + 3

Dua bilangan yang hasilnya dikalikan ac = 2 x 3 = 6 dan jumlahnya 7 adalah 6 dan 1, sehingga

2x² + 7x + 3 = 2x² + x + 6x + 3

= (2x² + x) + (6x + 3)

= x(2x + 1) + 3(2x + 1)

= (x + 3) (2x + 1)

21

Matematika Kelas 7

22

Matematika Kelas 7

23

Matematika Kelas 7

24

Matematika Kelas 7