logaritmi
Presentation
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Mathematics
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11th Grade
•
Practice Problem
•
Hard
Renato Scaramucci
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36 Slides • 0 Questions
1
Logaritmi
Definizione – Proprietà –Grafici
Equazioni e Disequazioni
2
Ripassiamo le Potenze con esponente
razionale
=
m
m
n
na
a
Valgono le ugaglianze:
Valgono le usuali proprietà delle potenze.
Esempi:
=
1
1
2
24
4
=
=
3
3
32
2 3
=
1
4
4
1
1
1
4
4
=
21
2
2 4
1
2
=
In generale se a è un numero reale positivo o nullo con m e n
numeri naturali
=
1
13
38
8
= 2
=
=4
2
−
+
=
=
m
m
m
n
n
n
a
b
b
b
a
a
+
4
1
1
16
=
4
11
16
= 1
2
=
41
2
4
−
=
2
1
4
9
=
=
2
19
3
4
2
+
2
1
9
4
−
−
=
=
4
1
4
1
16
16
1
3
Ripassiamo le Potenze con esponente
razionale
=
m
m
n
na
a
Valgono le ugaglianze:
Valgono le usuali proprietà delle potenze.
Esempi:
=
1
1
2
24
4
=
=
3
3
32
2 3
=
1
4
4
1
1
1
4
4
=
21
2
2 4
1
2
=
In generale se a è un numero reale positivo o nullo con m e n
numeri naturali
=
1
13
38
8
= 2
=
=4
2
−
+
=
=
m
m
m
n
n
n
a
b
b
b
a
a
+
4
1
1
16
=
4
11
16
= 1
2
=
41
2
4
−
=
2
1
4
9
=
=
2
19
3
4
2
+
2
1
9
4
−
−
=
=
4
1
4
1
16
16
1
4
3
Completa la tabella
Scrittura con radice
Scrittura in forma di potenza
Scrittura con radice
Scrittura in forma di potenza
2
1
22
7
23
73
5
1
25
5
22
52
32
3
22
1,57
15
7
3
10 2
3
27=
37
33
3
23
3
22
3
3
2
2
3
31
2
3
3
2
2
1
2
2
−
=
4
57
5
47
2
32
−
2
32
3
3
1
1
2
2
4
−
=
=
5
23
−
5
5
1
3
3
− =
5
Definizione di logaritmo
Dati due numeri reali positivi a e b, con a ≠ 1, si chiama
logaritmo in base a del numero b, e si indica con
l’esponente al quale si deve elevare la base a per ottenere b.
Il numero b si dice argomento del logaritmo.
In altre parole la soluzione dell'equazione:
è
( )
loga b
loga b
a
b=
=
loga
xa
x
=xa
b
= loga
x
b
6
Risoluzione per via grafica
dell’equazione
=xa
b
Sul piano cartesiano si può tracciare il grafico della funzione esponenziale
e della retta
=
x
y
a
=y
b
=
=
→
=
=
log
x
a
x
b
y
a
y
b
y
b
le coordinate del punto P di
intersezione dei 2 grafici è
la soluzione del sistema:
7
Definizione
Risoluzione per via grafica dell’equazione: come intersezione di e
0,
1
xa
b a
a
=
La soluzione esiste solo se ed è la definizione di
0b
loga b
xa
b=
x
y
a=
y
b=
=
=
→
=
=
log
x
a
x
b
y
a
y
b
y
b
8
Terminologia
3
log ( 5 )
Logaritmo
Argomento
Base
Tra il simbolo «log» la base 3 e l'argomento 5 non è
sottinteso alcun simbolo di moltiplicazione come invece
avviene nei monomi.
9
esempi
Logaritmo da
calcolare
Domanda:
Valore del
logaritmo
2
log 8
A quale esponente dobbiamo
elevare 2 per ottenere 8
=
2
log 8
3
3
log 1
A quale esponente dobbiamo
elevare 3 per ottenere 1
=
3
log 1
0
5
1
log
5
= −
5
1
log
1
5
5
log 5
=
5
log 5
1
25
log
5
=
25
1
log
5
2
4
log 16
=
4
log 16
2
A quale esponente dobbiamo
elevare 25 per ottenere 5
A quale esponente dobbiamo
elevare 5 per ottenere 1/5
A quale esponente dobbiamo
elevare 4 per ottenere 16
A quale esponente dobbiamo
elevare 5 per ottenere 5
10
Determina il
valore della base
del logaritmo
Equazione equivalente in forma
esponenziale
Riscrivi il logaritmo con
la base cercata
Completa la tabella
log
3
8
x
=
3
8
x =
33
3 8
x
→
=
log
2
81
x
=
2
81
x =
2
81
x
→
=
1
log
5
2
x
=
1
2
5
x =
2
2
1
1
2
25
x
→
=
5x→
=
0
10
1
log
1
x
=
1
10
10
x
=
log
3
5
x
=
35
x =
3 5
x→
=
2
log 8
3=
9
log 81
2=
5
log
5
1
2
=
10
1
10
10
10
x
→
=
1010
x
→
=
1010
1
l g
10
o
10
=
3 5
log
5
3=
2
x
→
=
9
x
→
=
11
Completa la tabella
espressione da calcolare
Eventuali calcoli
valore
2
log 32
= 3
10
log10
x
x
5x
6
log 326
(
)
6
2
log 36
=
23
9
7
log 237
(
)
7
3
log 27
=32
8
−
5
log 25
(
)
−
5
1
log 25
−
=
12
1
2
()
8
log5
8
x
3
1 log 2
23
(
)
3
1
log 2
2
3
=
1
22
2
12
Prime 3 proprietà
( )
( )
(
)
+
=
log
log
log
a
a
a
b
c
b c
0,
1,
0,
0
a
a
b
c
se
( )
( )
−
=
log
log
log
a
a
a
b
b
c
c
(
)
( )
=
log
log
c
a
a
b
c
b
( )
( )
10
10
log
5
log
2
+
(
)
10
log
5 2
=
()
10
log
10
=
1=
Item
Item
Item
13
Logaritmo del prodotto :
(
)
( )
( )
=
+
log
log
log
a
a
a
b c
b
c
( )
( )
10
10
log
5
log
2
+
(
)
10
log
5 2
=
()
10
log
10
=
1=
( )
3
log
6
(
)
3
log
2 3
=
( )
( )
3
3
log
2
log
3
=
+
( )
3
log
2
1
=
+
( )
( )
(
)
+
=
log
log
log
a
a
a
b
c
b c
+
+
=
10
10
10
log
log
log
x
y
z
(
)
10
log
xyz
14
Somma di
logaritmi con la
stessa base
logaritmo unico
del prodotto degli
argomenti
Eventuale
semplificazione
Completa la tabella
( )
( )
+
21
21
log
7
log
3
(
)
=
21
log
7 3
()
=
21
log
21
= 1
()
+
+
3
3
3
1
log
18
log
3
3
log
2
3
log
18
=
3
1
3
1
3
2
1
( )
3
log
9
=
2=
( )
( )
+
15
15
log
3
log
5
(
)
=
15
log
3 5
(
)
=
15
log
15
+
4
4
log 8
log 2
(
)
=
4
log
8 2
()
=
4
log
16
= 2
+
5
5
1
log 25
log
5
=
5
5
log
25 1
5
=
5
log 5 = 1
= 1
( )
( )
+
log
log
a
a
b
c
(
)
=
loga b c
15
Logaritmo
Scompongo
l’argomento
Somma di logaritmi
con la stessa base
Completa la tabella
()
3
log
22
(
)
3
log
2 11
( )
()
=
+
3
3
log
2
log
11
()
5
log
50
(
)
loga b c
( )
()
=
+
=
5
5
log
2log
25
( ) +
5
log
2
2
(
)
2
log
1000
(
)
2
log
10 10 10
()
()
()
=
+
+
2
2
2
log 10
log 10
log 10
()
=
2
3 log
10
(
)
−2
2
log
1
x
(
)(
)
+
−
2
log
1
1
x
x
(
)
(
)
++
−
2
2
log
1log
1
x
x
(
)
5
log
2 25
( )
( )
+
log
log
a
a
b
c
(
)
−2
2
log
x
x
(
)
−
2
log
1
x
x
( )
(
)
+
−
2
2
log
log
1
x
x
16
Logaritmo
Scompongo
l’argomento
Somma di logaritmi
con la stessa base
Completa la tabella
()
3
log
22
(
)
3
log
2 11
( )
()
=
+
3
3
log
2
log
11
()
5
log
50
(
)
loga b c
( )
()
=
+
=
5
5
log
2log
25
( ) +
5
log
2
2
(
)
2
log
1000
(
)
2
log
10 10 10
()
()
()
=
+
+
2
2
2
log 10
log 10
log 10
()
=
2
3 log
10
(
)
−2
2
log
1
x
(
)(
)
+
−
2
log
1
1
x
x
(
)
(
)
++
−
2
2
log
1log
1
x
x
(
)
5
log
2 25
( )
( )
+
log
log
a
a
b
c
(
)
−2
2
log
x
x
(
)
−
2
log
1
x
x
( )
(
)
+
−
2
2
log
log
1
x
x
17
Logaritmo del quoziente
( )
( )
=
−
log
log
log
a
a
a
b
b
c
c
2
3
log 2
2
2
log 3
log 2
=
−
2
log 3
1
=
−
1
loga c
log 1 log
a
a c
=
−
0log
log
a
a
c
c
=
−
= −
( )
( )
−
=
log
log
log
a
a
a
b
b
c
c
−
=
10
10
log
20
log
2
10
20
log
10
2
=
=
10
log 10
1
−
+
−
=
3
3
3
3
log
log
log
log
x
y
z
t
(
)
+
−
+
=
3
3
3
3
log
log
log
log
x
z
y
t
(
)
(
)
−
=
3
3
log
log
x z
y t
3
logxy
zt
18
differenza di
logaritmi con la
stessa base
logaritmo unico
del quoziente degli
argomenti
Eventuale semplificazione
Completa la tabella
−
10
10
log
400
log
4
10
400
log
100
4
=
=2
10
10
log 100
log 10
2
−
2
2
log
27
log 9
3
2
3
log
9
2
3
log
3
9
=
2
3
3
log
3
−
+
log16
log8
log2
16
log
2
8
( )
+
log 2
(
)
( )
=
log 2 2
log 4
(
)
(
)
−−
+
2
log
4log
2
x
x
( )
( )
−
log
log
a
a
b
c
loga
b
c
−
+
24
log
2
x
x
(
)+ 2
log
x
(
)−
+
2
2
x
x
(
)
=
−
log
2
x
19
Logaritmo di un
rapporto
Differenza di
logaritmi
Eventuale
semplificazione
Completa la tabella
3
log 4
−
log3
log4
2
1
log 8
−
2
2
log 1 log 8
−
= −3
2
0
log 2
3
+
−
log xy
xy
(
)
(
)
+
−
−
log
log
xy
xy
3
log
3
a
a
()
( )
−3
log
log
3
a
a
a
( )
−3log
3
a
5
1
log
x
( )
( )
−
5
5
log
1
log
x
( )
( )
−
= −
5
5
0log
log
x
x
loga
b
c
( )
( )
−
log
log
a
a
b
c
20
Logaritmo della potenza
(
)
( )
=
log
log
c
a
a
b
c
b
Esempio: verifichiamo l’uguaglianza:
(
)
( )
=
4
3
3
log
9
4 log
9
Primo membro:
(
)
4
3
log
9
(
)
=
4
2
3
log
3
=
8
3
log
3
= 8
Secondo membro:
( )
3
4 log
9
(
)
=
2
3
4 log
3
=
=
4 2
8
Esempio:
1000
3 log
10 =
3
1000
log
10 =
1000
log
1000
= 1
+
−
5
5
5
2 log 10
log 25
log 4
=
+
−
2
5
5
5
log 10
log 25
log 4
=
25
5
100
log
25
4
=
5
log 625 =
4
5
log 5 = 4
Esempio:
( )
(
)
=
log
log
c
a
a
c
b
b
21
Completa la tabella
Logaritmo di una
potenza
Prodotto tra
l’esponente e il
logaritmo della base
Eventuale
semplificazione
(
)
4
log 5
( )
5 log 5
(
)
2
log
yx
( )
2
logy
x
(
)
+
+=
2
log
2
1
x
x
(
)+
2
log
1x
2
1
logax
(
)
−
=
2
loga x
( )
− 2 loga x
()
log
c
a b
( )
loga
c
b
(
)
+
2 log
1x
22
Esempi con radicali
Esempi:
(
)
4
3
log
27
5
log
125
10
log
10
(
)
=
=
10
1
1 log
10
2
= 1
2
=
=
=
5
1
3
3
log 5
2
2
=
=
=
3
1
3
3
log 3
4
4
(
)
=
3
4
3
log
3
=
1
2
10
log 10
=
3
2
5
log 5
(
)
=
1
32
5
log
5
+
−
=
5
5
5
1
3log
2log
log
2
x
y
z
+
−
=
1
3
2
2
5
5
5
log
log
log
x
y
z
+
−
=
3
2
5
5
5
log
log
log
x
y
z
(
)
−
=
3
2
5
5
log
log
x
y
z
32
5
log
x y
z
()
=
1
34
3
log
3
23
Somma algebrica
di logaritmi con
la stessa base
Somma algebrica di logaritmi senza
coefficienti
scrivi un solo logaritmo
Completa la tabella (proprietà 1,2,3)
−
−
1
log400
2 log5
log4
2
−
−2
log400
log5
log 4
=
−
−
log400
log25
log2
=
400
log 25 2 = log8
−
3 log 3
log 9
2
−
3
2
2
log 3
log 3
=
3
2
2
3
log 3
−
=
3 2
2
log 3
−
=
1
2
log 3
+
3 log
2 logx
y
+3
2
log
log
x
y
3
2
log
x
y
−
1
5 log
log
2
x
y
−5
log
log
x
y
5
log
x
y
(
)
( )
+
−
8 ln
5
4 ln
x
x
(
)
(
)
(
)
+
−
8
4
ln
5
ln
x
x
(
)
+
8
4
5
ln
x
x
=
1
log
3
24
Completa la tabella
(supposto x>0, y>0 ,z>0)
Logaritmo
Scomponi nella somma algebrica di
logaritmi
Esplicita i coefficienti
(
)
2
log x y
( )
()
+
2
log
log
x
y
( )
( )
+
log
2 log
x
y
(
)
3
log y
z
( )
(
)
+
3
log
log
y
z
( )
( )
+
1
log
log
3
y
z
3
log
xy
z
(
)
(
)
−
3
log
log
xy
z
()
( )
−
1
1
log
log
3
2
xy
z
( )
( )
(
)
( )
=
+
−
1
1
log
log
log
3
2
x
y
z
3
log
x
y
z
( )
(
)
(
)
−
3
log
log
x
yz
( )
()
()
=
−
−
3
log
log
log
x
y
z
( )
( )
( )
=
−
−
1
1
log
log
log
2
3
x
y
z
( )
( )
( )
=
+
−
1
1
1
log
log
log
3
3
2
x
y
z
25
Proprietà del cambio base
( )
( )
( )
= log
log
log
a
c
c
b
b
a
0,
1,
0,
1
0,
a
c
c
b
a
Se:
(
)
8
log
128
(
)
( )
2
2
log
128
log
8
=
()
()
7
2
3
2
log
2
log
2
=
7
3
=
()
3
log
27
()
(
)
3
3
log
27
log
3
=
()
3
3
1
2
3
log
3
log
3
=
=
1
3 : 2
2
3 1=
6=
(
)
3
9
log
9 7
log 7−
()
=
+
−
1
2
3
2
3
3
log 7
log
3
log
7
2
=+
3
1
2
log 7
2
−
3
1log 7
2
= 2
( )
3
3
3
3
log 7
log
9
log
7
log 9
=
+
−
( )
( )
( )
=
log
log
log
a
c
c
b
a
b
=
3
5
7
log
log 7 log 53
=
7
5
log
log 57
=
5
log 5
1
=
2
2
log 7 log
log 5
a
a
=
2
2
log 7 log 5
(
)
=
2
2
log
7 5
log 35
( )
( )
=
1
2
2
1
7 log
2
3 log
2
( )
( )
=
1
3
3
1
3 log
3
1 log
3
2
26
Proprietà del cambio base
Il nome della proprietà discende dal fatto che
questa formula consente di calcolare i logaritmo in
base «a» se si sanno calcolare i logaritmi in un’altra
base «c».
Non è quindi limitativo saper calcolare solo i
logaritmi in una base fissa come fa la calcolatrice
( )
( )
( )
log
log
log
c
c
a
b
a
b =
27
Logaritmi sulla calcolatrice
•
Sulle calcolatrici sono disponibili solamente i logaritmi
in base 10 e in base «e»(numero di Nepero = 2,71…)
•
I logaritmi in base 10 si indicano omettendo la base
es.:
•
I logaritmi in base «e» (detti naturali o neperiani) si
indicano con «ln» es.:
•
Dobbiamo sfruttare la proprietà del cambio di base
per calcolare il logaritmo in base diversa Es.:
( )
( )
( )
=
=
=
2,71...
log
7
log
7
1,94
l7
.
n
5..
e
(
)
(
)
( )
( )
=
=
=
=
10
10
log 10
log
log
10
1;
log
7
0,84
7
5...
7
log 5
log5
log7
=
0.82708...=
0.698970...
0.845098...
=
7
log 5
=ln5
ln7
=1,6094379...
1,9459101...
0.82708...=
28
Esempi di uso dei simboli «e», «log», «ln»
( ) =
ln e
1
=
1
ln e
(
)
−=1
ln e
( )
−
=
1 ln e
−1
(
) =
ln
e
=
1
2
ln e
( ) =
1
1
ln
2
2
e
=
1
ln
e
( ) −
=
ln 1
ln e
−
= −
1
1
0
2
2
(
) =
log 10
=
log100
=2
log10
(
)=
log
10
=
1
2 log10
2
( ) =
loge e
(
) =
10
log
10
1
=
1
2
log10
=
1
1
log10
2
2
29
Esempi
( )
loga b
( )
( )
log
log
b
b
b
a
=
( )
1
logb a
=
4
log 2 =
2
2
log 2
log 4
2
2
1
log 2
=
1
2
=
81
log 3 =
3
3
log 3
log 81
4
3
1
log 3
=
1
4
=
2
log
2 =
2
2
log 2
log
2
1
2
2
1
log 2
=
2
1
1
1 log 2
2
=
=
=
2
1
2
1
( )
( )
( )
log
log
log
c
c
a
b
a
b =
30
Equazioni
Una equazione si dice logaritmica se l’incognita compare all’interno di almeno un logaritmo
Consideriamo le equazioni della forma
( )
( )
log
log
a
a
A x
B x
=
( )
( )sono funzioni nella variabile x
A x e B x
1) Si calcola il C.E.
2) Si riduce ad un solo log ( con la stessa base) sia
il primo che il secondo membro
3) Si risolve A(x)=B(x) [tenendo conto del C.E.]
0,
1,
0)
(a
a
b
31
Esempio
(
)
−
+
=
2
2
4
4
log
0
x
x
−
+
24
4
0
x
x
CE
−
+
=
24
4
0
x
x
−
−
=
=
24
2
b
b
ac
x
a
=
= −
=
1
4
4
a
b
c
−
4
16
4 1 4
2
==
4
2
2
−
4
16
16
2
−
+→
=
2
2
4
40
x
x
x
S
(
)
−
+
=
2
0
2
2
4
4
log
log 2
x
x
−
+
=
2
4
4
1
x
x
(
)
−
+
=
2
2
2
4
4
log
log 1
x
x
−
+
− =
2
4
4
1
0
x
x
−
+
=
2
4
3
0
x
x
=
= −
=
1
4
3
a
b
c
−
−
=
=
24
2
b
b
ac
x
a
−
4164 1 3
2
= 4
4
2
=4
2
2
==
1
6
3
2
x
=
=
2
2
1
2
x
= 1 ; 3
S
32
Esempio 1
(
)
( )
(
)
log
log
3
log 2
log 2
3
x
x
x
+
+
=
+
+
(
)
(
)
log
3
log 2 2
3
x x
x
→
+
=
+
0
30
2
30
x
CE x
x
+
+
0
3
3
2
x
x
x
→
−
−
0x→
(
)
(
)
log
3
log 2 2
3
x x
x
→
+
=
+
(
)
(
)
3
2 2
3
x x
x
→
+
=
+
23
4
6
x
x
x
→
+
=
+
23
4
60
x
x
x
→
+
−
−=
2
60
x
x
→
−−=
()
()
()
2
1
1
4 1
6
2 1
x
− −
−
− −
→
=
1
124
2
x
+
→
=
1
2
1 5
3
2
1 5
2
2
x
x
+
=
=
−
=
= −
2 non accettabile,
3
x
S =
33
Esempio 2
(
)
3
log
2
4
2
x +
=
(
)
=
→
+
=
2
3
3
2
log
2
4
log 3
x
. . 2
40
C E
x +
2
→
2
x
4−
2
2
2
x→
−
→
+
=
2
2
4
3
x
→
=
−
2
9
4
x
5
2
x→
=
5
2
S
=
Trasformiamo il numero 2 in un logaritmo secondo l’identità
loga
x
x
a
=
→
+
=
2
4
9
x
→ 2
2
x = 5
2
− →
5
2
2
34
Esempio 3
2
4
log
3log
10
x
x
+
=
. .
0
C E x
→
+
=2
2
2
log
3
10
log
log 4
x
x
2
2
3
log
log
10
2
x
x
→
+
=
2
3
1
log
10
2
x
→
+
=
2
5 log
10
2
x
→
=
2→
5
2
()
2
log
10
2
x
=
5
→
2
log
5
x
20
=
4
5
=
→
=
4
2
4
2
log 2
log
4
x
4
2
2
log
log 2
x
→
=
→
=
42
x
→
=
16
0
16
S
Usiamo la proprietà del cambio base per trasformare il secondo logaritmo nella stessa
base del primo
→
+
=
2
2
log
log
3
10
2
x
x
→
= 16
x
35
Esempio 4
36
Grafici
Logaritmi
Definizione – Proprietà –Grafici
Equazioni e Disequazioni
Show answer
Auto Play
Slide 1 / 36
SLIDE
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