logaritmi

Logaritmi

Definizione – Proprietà –Grafici

Equazioni e Disequazioni

Ripassiamo le Potenze con esponente

razionale

=

m

m

n

na

a
Valgono le ugaglianze:

Valgono le usuali proprietà delle potenze.

Esempi:
=

1

1

2

24

4

=

=

3

3

32

2 3




=







1
4

4

1

1

1

4

4


=



21
2

2 4
1
2
=

In generale se a è un numero reale positivo o nullo con m e n
numeri naturali

=

1

13

38

8

= 2

=

=4

2

−

+











=

=























m

m
m
n

n

n
a

b

b

b

a

a

+











4
1

1
16




=







4

11
16

= 1

2


=



41
2

4

−

=



2
1

4
9




=

=







2

19

3

4

2

+





2
1

9
4

−

−




=

=








4

1
4
1

16
16
1

Ripassiamo le Potenze con esponente

razionale

=

m

m

n

na

a
Valgono le ugaglianze:

Valgono le usuali proprietà delle potenze.

Esempi:
=

1

1

2

24

4

=

=

3

3

32

2 3




=







1
4

4

1

1

1

4

4


=



21
2

2 4
1
2
=

In generale se a è un numero reale positivo o nullo con m e n
numeri naturali

=

1

13

38

8

= 2

=

=4

2

−

+











=

=























m

m
m
n

n

n
a

b

b

b

a

a

+











4
1

1
16




=







4

11
16

= 1

2


=



41
2

4

−

=



2
1

4
9




=

=







2

19

3

4

2

+





2
1

9
4

−

−




=

=








4

1
4
1

16
16
1

3

Completa la tabella

Scrittura con radice

Scrittura in forma di potenza

Scrittura con radice

Scrittura in forma di potenza

2

1
22

7
23

73

5

1
25

5
22

52

32

3
22

1,57

15

7

3

10 2

3
27=

37

33

3
23

3
22
3





3

2
2
3





31
2






3
3

2
2
1
2
2

−

 =



4
57

5

47

2
32

−

2

32

3

3
1

1
2
2

4

−

=

=




5
23

−

5

5
1
3
3

− =

Definizione di logaritmo

Dati due numeri reali positivi a e b, con a ≠ 1, si chiama
logaritmo in base a del numero b, e si indica con

l’esponente al quale si deve elevare la base a per ottenere b.
Il numero b si dice argomento del logaritmo.

In altre parole la soluzione dell'equazione:

è

( )

loga b

loga b

a

b=

=

loga

xa

x

=xa

b

= loga
x

b

Risoluzione per via grafica

dell’equazione
=xa

b

Sul piano cartesiano si può tracciare il grafico della funzione esponenziale
e della retta

=

x

y

a

=y

b

=





=
→




=

=





log

x

a
x

b

y

a

y

b

y

b

le coordinate del punto P di
intersezione dei 2 grafici è
la soluzione del sistema:

Definizione

Risoluzione per via grafica dell’equazione: come intersezione di e

0,

1

xa

b a

a

=





La soluzione esiste solo se ed è la definizione di

 0b

loga b

xa

b=

x

y

a=

y

b=

=





=
→




=

=





log

x

a
x

b

y

a

y

b

y

b

Terminologia

3
log ( 5 )

Logaritmo

Argomento

Base

Tra il simbolo «log» la base 3 e l'argomento 5 non è
sottinteso alcun simbolo di moltiplicazione come invece
avviene nei monomi.

esempi

Logaritmo da
calcolare

Domanda:

Valore del
logaritmo

2
log 8

A quale esponente dobbiamo
elevare 2 per ottenere 8

=
2
log 8

3

3
log 1

A quale esponente dobbiamo
elevare 3 per ottenere 1
=
3
log 1

0





5

1
log
5

 = −



5

1
log

1
5

5
log 5

=
5
log 5

1

25
log

5

=
25

1
log

5
2

4
log 16
=
4
log 16

2

A quale esponente dobbiamo
elevare 25 per ottenere 5

A quale esponente dobbiamo
elevare 5 per ottenere 1/5

A quale esponente dobbiamo
elevare 4 per ottenere 16

A quale esponente dobbiamo
elevare 5 per ottenere 5

Determina il
valore della base
del logaritmo

Equazione equivalente in forma
esponenziale

Riscrivi il logaritmo con
la base cercata

Completa la tabella

log

3

8
x
=

3

8

x =

33

3 8
x

→

=

log

2

81
x
=

2

81

x =

2

81

x

→

=

1
log

5
2

x
=

1

2

5

x =

2

2
1

1

2

25

x

→

=





5x→

=

0
10
1
log
1

x
=

1
10

10

x

=

log

3

5
x
=

35

x =

3 5
x→

=

2
log 8

3=

9
log 81

2=

5
log

5
1
2
=

10
1

10

10

10

x



→

=









1010

x

→

=
1010

1
l g

10

o
10
=

3 5
log

5

3=

2

x

→

=

9

x

→

=

Completa la tabella

espressione da calcolare

Eventuali calcoli

valore

2
log 32

= 3

10
log10

x
x

5x


6
log 326

(

)
6
2
log 36

=

23

9


7
log 237

(

)
7
3
log 27

=32

8

−
5
log 25

(

)

−

5
1
log 25

−

=

12

1
2

()
8
log5

8

x

3

1 log 2
23
(

)
3

1

log 2

2

3

=

1
22

2

Prime 3 proprietà

( )

( )

(

)
+

=



log

log

log
a

a

a
b

c

b c

0,

1,

0,

0

a

a

b

c









se

( )

( )



−

=







log

log

log
a

a

a

b
b

c
c

(

)
( )
=



log

log

c

a

a
b

c

b

( )

( )
10

10
log

5

log

2

+

(

)
10
log

5 2

=



()
10
log

10

=

1=

1. Item

2. Item

3. Item

Logaritmo del prodotto :

(

)

( )

( )


=

+

log

log

log
a

a

a
b c

b

c

( )

( )
10

10
log

5

log

2

+

(

)
10
log

5 2

=



()
10
log

10

=

1=

( )
3
log

6

(

)
3
log

2 3

=



( )

( )
3

3
log

2

log

3

=

+

( )
3
log

2

1

=

+

( )

( )

(

)
+

=



log

log

log
a

a

a
b

c

b c

+

+

=
10

10

10
log

log

log

x

y

z

(

)
10
log

xyz

Somma di
logaritmi con la
stessa base

logaritmo unico
del prodotto degli
argomenti

Eventuale
semplificazione

Completa la tabella

( )

( )

+
21

21
log

7

log

3

(

)
=


21
log

7 3

()

=
21
log

21

= 1

()


+





+




3

3

3

1
log

18

log
3

3
log
2

3
log

18

=

3
1

3



1

3

2



1













( )
3
log

9

=

2=

( )

( )
+
15

15
log

3

log

5

(

)
=


15
log

3 5
(

)
=
15
log

15

+
4

4
log 8

log 2

(

)
=


4
log

8 2

()
=
4
log

16

= 2


+




5

5

1
log 25

log
5
=

5

5
log

25 1

5











=
5
log 5 = 1

= 1

( )

( )

+

log

log
a

a
b

c
(

)

=



loga b c

Logaritmo

Scompongo
l’argomento

Somma di logaritmi
con la stessa base

Completa la tabella

()
3
log

22

(

)
3
log

2 11

( )

()

=

+
3

3
log

2

log

11

()
5
log

50

(

)

loga b c

( )

()

=

+

=
5

5
log

2log

25

( ) +
5
log

2

2

(

)
2
log

1000

(

)


2
log

10 10 10

()

()

()

=

+

+
2

2

2
log 10

log 10

log 10
()

=
2
3 log

10

(

)
−2

2
log

1

x

(

)(

)




+

−
2
log

1

1

x

x

(

)

(

)

++

−
2

2
log

1log

1

x

x

(

)
5
log

2 25

( )

( )

+

log

log
a

a
b

c

(

)
−2

2
log

x

x

(

)






−
2
log

1

x

x

( )

(

)

+

−
2

2
log

log

1

x

x

Logaritmo

Scompongo
l’argomento

Somma di logaritmi
con la stessa base

Completa la tabella

()
3
log

22

(

)
3
log

2 11

( )

()

=

+
3

3
log

2

log

11

()
5
log

50

(

)

loga b c

( )

()

=

+

=
5

5
log

2log

25

( ) +
5
log

2

2

(

)
2
log

1000

(

)


2
log

10 10 10

()

()

()

=

+

+
2

2

2
log 10

log 10

log 10
()

=
2
3 log

10

(

)
−2

2
log

1

x

(

)(

)




+

−
2
log

1

1

x

x

(

)

(

)

++

−
2

2
log

1log

1

x

x

(

)
5
log

2 25

( )

( )

+

log

log
a

a
b

c

(

)
−2

2
log

x

x

(

)






−
2
log

1

x

x

( )

(

)

+

−
2

2
log

log

1

x

x

Logaritmo del quoziente

( )

( )


 =
−







log

log

log
a

a

a

b
b

c
c

2

3
log 2

2

2
log 3

log 2

=

−
2
log 3

1

=

−

1
loga c

log 1 log
a

a c

=

−

0log

log
a

a
c

c

=

−

= −

( )

( )



−

=







log

log

log
a

a

a

b
b

c
c

−

=
10

10
log

20

log

2
10

20
log

10

2

=

=
10
log 10

1

−

+

−

=
3

3

3

3
log

log

log

log

x

y

z

t

(

)
+

−

+

=
3

3

3

3
log

log

log

log

x

z

y

t

(

)

(

)


−

=
3

3
log

log

x z

y t
3
logxy

zt

differenza di
logaritmi con la
stessa base

logaritmo unico
del quoziente degli
argomenti

Eventuale semplificazione

Completa la tabella

−
10

10
log

400

log

4

10

400
log

100

4

=

=2

10

10
log 100

log 10

2

−
2

2
log

27

log 9

3

2

3
log
9

2

3
log
3

9

=
2

3

3
log
3

−

+

log16

log8

log2
16
log

2

8

( )







 +







log 2

(

)

( )



=

log 2 2

log 4

(

)

(

)

−−

+

2

log

4log

2

x

x

( )

( )

−

log

log
a

a
b

c




loga

b
c



−





+



24
log
2

x
x

(

)+ 2
log
x

(

)−

+

2

2
x

x













(

)

=

−

log

2

x

Logaritmo di un
rapporto

Differenza di
logaritmi

Eventuale
semplificazione

Completa la tabella

3
log 4

−

log3

log4

2

1
log 8
−
2

2
log 1 log 8

−

= −3

2
0

log 2

3

+
−

log xy

xy
(

)

(

)
+

−

−

log

log

xy

xy






3

log
3

a

a
()

( )

−3

log

log

3
a

a
a

( )

−3log

3
a





5

1
log
x
( )

( )

−
5

5
log

1

log

x

( )

( )

−

= −
5

5
0log

log

x

x




loga

b
c
( )

( )

−

log

log
a

a
b

c

Logaritmo della potenza

(

)

( )
=



log

log

c

a

a
b

c

b

Esempio: verifichiamo l’uguaglianza:

(

)

( )
=



4

3

3
log

9

4 log

9

Primo membro:
(

)

4

3
log

9
(

)




=








4
2

3
log

3





=




8

3
log

3

= 8

Secondo membro:
( )

3
4 log

9
(

)
=



2

3
4 log

3

=

=

4 2

8

Esempio:


1000
3 log

10 =

3

1000
log

10 =
1000
log

1000

= 1



+

−
5

5

5
2 log 10

log 25

log 4

=

+

−

2

5

5

5
log 10

log 25

log 4

=

25

5

100
log
25

4

=
5
log 625 =

4

5
log 5 = 4

Esempio:

( )

(

)


=

log

log

c

a

a
c

b

b

Completa la tabella

Logaritmo di una
potenza

Prodotto tra
l’esponente e il
logaritmo della base

Eventuale
semplificazione

(

)
4

log 5

( )

5 log 5

(

)
2
log

yx
( )


2
logy

x

(

)
+

+=

2

log

2

1

x

x
(

)+

2

log

1x



2
1
logax

(

)
−

=

2

loga x

( )

− 2 loga x

()

log

c

a b

( )

loga
c

b

(

)



+

2 log

1x

Esempi con radicali

Esempi:

(

)
4

3
log

27

5
log

125

10
log

10

(

)

=

=
10

1

1 log
10
2

= 1

2

=

=

=
5
1

3

3
log 5
2

2

=

=



=
3
1

3

3
log 3
4

4
(

)
=

3
4

3
log

3

=

1
2

10
log 10

=

3
2

5
log 5
(

)
=

1

32

5
log

5

+

−

=
5

5

5

1
3log

2log

log
2
x

y

z

+

−

=

1

3

2

2

5

5

5
log

log

log

x

y

z

+

−

=

3

2

5

5

5
log

log

log

x

y

z
(

)


−

=

3

2

5

5
log

log

x

y

z











32

5
log
x y

z

()
=

1

34

3
log

3

Somma algebrica
di logaritmi con
la stessa base

Somma algebrica di logaritmi senza
coefficienti

scrivi un solo logaritmo

Completa la tabella (proprietà 1,2,3)

− 

−
1
log400

2 log5

log4

2

−

−2

log400

log5

log 4
=

−

−

log400

log25

log2




=








400
log 25 2 = log8



−
3 log 3
log 9
2
−

3

2

2

log 3

log 3
=

3
2

2

3
log 3

−



=









3 2
2

log 3

−



=









1
2

log 3



+

3 log

2 logx

y

+3

2

log

log

x

y











3

2
log
x
y



−
1
5 log

log
2
x

y
−5

log

log

x

y















5

log
x

y

(

)

( )



+

−

8 ln

5

4 ln

x

x
(

)
(

)
(

)
+

−

8

4

ln

5

ln

x

x

(

)





+










8

4
5
ln
x

x




=











1
log
3

Completa la tabella

(supposto x>0, y>0 ,z>0)

Logaritmo

Scomponi nella somma algebrica di
logaritmi

Esplicita i coefficienti

(

)
2

log x y
( )

()
+

2

log

log

x

y

( )

( )
+

log

2 log

x

y

(

)
 3

log y

z
( )
(

)
+

3

log

log

y

z

( )

( )
+


1
log

log
3
y

z















3

log
xy

z
(

)

(

)
−

3

log

log

xy

z

()

( )



−
1

1
log

log
3

2
xy

z

( )

( )

(

)

( )

=

+

−
1

1
log

log

log
3

2
x

y

z

















3
log
x

y

z

( )
(

)

(

)
−

 3

log

log

x

yz

( )
()

()
=

−

−

3

log

log

log

x

y

z
( )

( )

( )

=

−

−
1

1
log

log

log
2

3
x

y

z

( )

( )

( )

=

+

−
1

1

1
log

log

log
3

3

2
x

y

z

Proprietà del cambio base

( )
( )
( )

= log
log
log

a

c

c

b
b
a











0,

1,

0,

1

0,

a

c

c

b

a

Se:

(

)
8
log

128
(

)

( )

2

2

log

128

log

8
=
()

()

7

2

3

2

log

2

log

2

=
7
3
=

()
3
log

27
()

(

)

3

3

log

27

log

3

=
()

3

3

1
2

3

log

3

log

3

=






=
1
3 : 2

2
3 1=

6=

(

)
3

9
log

9 7

log 7−

()


=

+

−





1

2

3

2

3

3

log 7
log

3

log

7
2
=+
3

1
2

log 7
2
−
3

1log 7
2
= 2

( )

3

3

3

3

log 7
log

9

log

7
log 9
=

+

−

( )

( )

( )





=

log

log

log
a

c

c
b

a

b





=
3

5

7
log

log 7 log 53



=
7

5
log

log 57

=
5
log 5

1





=
2

2
log 7 log

log 5
a
a



=
2

2
log 7 log 5

(

)
=
2

2
log

7 5

log 35

( )
( )


=


1

2

2

1

7 log

2

3 log

2

( )

( )


=



1

3

3

1

3 log

3

1 log
3
2

Proprietà del cambio base

Il nome della proprietà discende dal fatto che
questa formula consente di calcolare i logaritmo in
base «a» se si sanno calcolare i logaritmi in un’altra
base «c».
Non è quindi limitativo saper calcolare solo i
logaritmi in una base fissa come fa la calcolatrice

( )
( )
( )

log
log
log

c

c

a

b

a
b =

Logaritmi sulla calcolatrice

•

Sulle calcolatrici sono disponibili solamente i logaritmi
in base 10 e in base «e»(numero di Nepero = 2,71…)

•

I logaritmi in base 10 si indicano omettendo la base
es.:

•

I logaritmi in base «e» (detti naturali o neperiani) si
indicano con «ln» es.:

•

Dobbiamo sfruttare la proprietà del cambio di base
per calcolare il logaritmo in base diversa Es.:

( )

( )

( )
=

=

=
2,71...
log

7

log

7

1,94

l7

.

n

5..
e

(

)

(

)

( )

( )
=

=

=

=
10

10
log 10

log

log

10

1;

log

7

0,84

7

5...

7
log 5
log5
log7
=

0.82708...=
0.698970...
0.845098...
=

7
log 5

=ln5

ln7

=1,6094379...

1,9459101...
0.82708...=

Esempi di uso dei simboli «e», «log», «ln»

( ) =

ln e

1

 =



1
ln e
(

)

−=1

ln e

( )
− 

=

1 ln e

−1

(

) =

ln

e


 =








1
2

ln e
( ) =
1

1
ln
2

2
e



 =







1
ln

e
( ) −

=

ln 1

ln e

−

= −
1

1
0
2

2

(

) =

log 10

=

log100

=2

log10

(

)=

log

10



=

1

2 log10

2

( ) =

loge e

(

) =
10
log

10

1

=

1
2

log10

=
1

1
log10
2

2

Esempi

( )

loga b
( )
( )

log

log

b

b

b

a
=
( )

1

logb a
=

4
log 2 =

2

2

log 2
log 4

2

2

1

log 2
=
1
2
=
81
log 3 =

3

3

log 3
log 81

4

3

1

log 3
=
1
4
=

2
log

2 =

2

2

log 2

log

2

1
2

2

1

log 2

=

2

1

1

1 log 2
2

=

= 

=
2
1

2
1

( )
( )
( )

log
log
log

c

c

a

b

a
b =

Equazioni

Una equazione si dice logaritmica se l’incognita compare all’interno di almeno un logaritmo

Consideriamo le equazioni della forma
( )

( )

log

log

a

a
A x

B x









=








( )

( )sono funzioni nella variabile x

A x e B x

1) Si calcola il C.E.
2) Si riduce ad un solo log ( con la stessa base) sia

il primo che il secondo membro

3) Si risolve A(x)=B(x) [tenendo conto del C.E.]

0,

1,

0)

(a

a

b







Esempio

(

)
−

+

=

2

2
4

4

log

0

x

x
−

+



24

4

0

x

x

CE

−

+

=

24

4

0

x

x

− 

−
=

=

24

2

b

b

ac
x
a

=

= −

=

1

4

4

a

b

c



− 

4

16

4 1 4

2

==
4
2
2



−

4

16

16

2





−

+→

=

2

2

4

40

x

x

x

S

(

)
−

+

=

2

0

2

2
4

4

log

log 2

x

x

−

+

=

2

4

4

1

x

x

(

)
−

+

=

2

2

2
4

4

log

log 1

x

x

−

+

− =

2

4

4

1

0

x

x

−

+

=

2

4

3

0

x

x

=

= −

=

1

4

3

a

b

c

− 

−
=

=

24

2

b

b

ac
x
a



− 

4164 1 3

2


= 4

4

2


=4

2

2

==
1

6
3
2
x

=

=
2

2
1
2
x




= 1 ; 3

S

Esempio 1

(

)

( )

(

)

log

log

3

log 2

log 2

3

x

x

x

+

+

=

+

+

(

)

(

)

log

3

log 2 2

3

x x

x









→

+

=

+








0
30

2

30

x

CE x

x



+



+



0

3
3
2

x
x

x





→

 −

 −


0x→



(

)

(

)

log

3

log 2 2

3

x x

x









→

+

=

+








(

)

(

)

3

2 2

3

x x

x

→

+

=

+

23

4

6

x

x

x

→

+

=

+

23

4

60

x

x

x

→

+

−

−=

2

60

x

x

→

−−=
()

()

()

2

1

1

4 1

6

2 1
x

− −



−

−  −

→

=


1

124

2
x


+
→

=

1

2

1 5
3
2

1 5
2
2

x

x

+
=

=

−
=

= −

 
2 non accettabile,

3

x

S =

Esempio 2

(

)
3
log

2

4

2

x +

=

(

)

=

→

+

=

2

3

3
2

log

2

4

log 3

x

. . 2

40

C E

x +


2
→

2
x

4−


2

2

2

x→

 −

→

+

=

2

2

4

3

x

→

=

−

2

9

4

x
5
2
x→

=
5
2
S
 
=  
 

Trasformiamo il numero 2 in un logaritmo secondo l’identità
loga

x

x

a

=

→

+

=

2

4

9

x

→ 2

2
x = 5

2
 − →
5
2
2

Esempio 3

2

4
log

3log

10

x

x

+

=

. .

0

C E x 

→

+

=2

2

2
log

3

10
log
log 4
x
x

2

2

3
log

log

10
2
x

x

→

+

=

2

3
1

log

10
2
x



→

+

=







2

5 log
10
2
x

→

=

2→
5
2
()
2
log

10

2

x


 =








5
→

2
log
5

x

20
=

4

5

=

→

=

4

2
4

2

log 2

log

4

x
4

2

2
log

log 2

x

→

=

→

=

42

x




→

=

16

0

16

S

Usiamo la proprietà del cambio base per trasformare il secondo logaritmo nella stessa
base del primo

→

+



=

2

2

log
log

3

10
2

x
x

→

= 16

x

Esempio 4

Grafici