planteo

P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L

RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO

Planteo de
ecuaciones

Sesión 08

C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O

Objetivo

Lograr que el estudiante pueda interpretar adecuadamente un
enunciado y lo formalice en una ecuación.
Aplicar los criterios de planteo de ecuaciones en problemas de
conjuntos y edades.

C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O

Planteo de Ecuaciones

¿En qué consiste un problema de planteo de ecuaciones?

Los problemas de planteo de ecuaciones consiste en la interpretación de un enunciados para poderlo expresarlos
mediante ecuaciones.

LENGUAJE

MATEMÁTICO

ENUNCIADO

LENGUAJE
ESCRITO

ECUACIÓN

Se dan las condiciones del

problema

Se procede a resolver la

ecuación utilizando
diferentes técnicas

TRADUCCIÓN

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C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O

En los diversos problemas de ecuaciones encontramos algunas expresiones frecuentes que es importante recordar.

EXPRESIONES USUALES

ENUNCIADO

INTERPRETACIÓN

La suma de 3 pares consecutivos es 60.
Sea el menor de los pares X
(X) + (X+2) + (X+4) = 60

El dinero de Felipe excede en S/30 a lo que tiene Eduardo.
Dinero de Eduardo: X
Dinero de Felipe: X + 30

El número de canicas que tengo es el doble de lo que tu tienes
aumentado en 12.

Tu tienes: X canicas
Yo tengo: 2X + 12

Daniela tiene tantos años como el doble del la edad de Karla.
Edad de Karla: X años
Edad de Daniela: 2X años

Lo que tiene A es 3 veces más de lo que tiene B.

A = 4 (B)

Una herencia fue repartida entre 3 personas, José recibió la cuarta
parte, Luis la tercera parte y Ana el resto.

Herencia: 12X
José: 3X

Luis: 4X

Ana: 5X

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Ricardo compró dos libros y un cuaderno por S/.80. Si un libro cuesta la mitad del otro y el cuaderno
S/.40 menos que el libro más caro, ¿cuánto pagó por el cuaderno?

Aplicación 1:

Resolución:

Realicemos un esquema

libro más caro

2do libro

cuaderno

Costo total = S/.80

2x

x

2x - 40

2x + x + (2x – 40) = 80

Del esquema se observa que:

 El cuaderno cuesta S/8

5x = 120

x = 24

El cuaderno cuesta: (2x – 40) soles

Multiple Choice

El triple de un número es igual a 624

• Triple de un número: 3+x

• Triple de un número: 3x

• Triple de un número: x2

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Un padre asiste con sus sobrinos al teatro y antes de entrar se da cuenta que si compra entradas de
S/90 le faltaría S/60, pero si compra entradas de S/50 le sobraría S/100, ¿con cuántos sobrinos fue
al teatro?

Aplicación 2:

Resolución:

Sea X el número de personas que asisten al teatro

Dato 1: Si compra entradas de S/90 le faltaría S/60

Dinero = 90 ( X ) - 60

Dato 2: Si compra entradas de S/50 le sobraría S/100.

Dinero = 50 ( X ) + 100

Igualando: 90 ( X ) – 60 = 50 ( X ) + 100

40 ( X ) = 160

X = 4

(X: total de personas que asisten al teatro)

Multiple Choice

La suma de tres números consecutivos es igual a 219

• x+x+x=219

• x+x+1+x+2=219

• x+y+z=219

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C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O

Tres amigos Ariel, Sandra y Gabriel
han jugado tres partidas de naipes
y el que perdió tuvo que duplicar el
dinero que en ese momento tuvo
los otros dos. Al final, se observó
que cada amigo perdió una partida
en el orden indicado quedándose
cada uno con S/80. ¿Cuánto tenía
Ariel antes de comenzar las tres
partidas?

Aplicación 3:

Resolución:

Representemos gráficamente las partidas

ARIEL

SANDRA

GABRIEL

Inicio

pierde
x2

x2

pierde

x2

x2

pierde

x2

x2

Final

80

80

80

+

+

= 240

+

+

= 240

+

+

= 240

+

+

= 240

40

40

160

20

80

140

70

40

130

Ariel tenía al inicio S/130


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PLANTEO DE ECUACIONES: APLICACIÓN EN PROBLEMAS SOBRE EDADES

En diversos problemas de edades se sugiere ubicar los datos en una tabla, como la que se muestra a
continuación:

PASADO

PRESENTE

FUTURO

Luisa

18

Marcos

16

Hace 4 años

14

12

Dentro de 6 años

24

22

Se cumple:

_

2 años

_

2 años

_

2 años

1. La diferencia de edades entre 2 personas en un
mismo año se mantiene constante.

14 – 12 = 18 – 16 = 24 - 22

2.La

suma

en

aspa

de

valores

ubicados

simétricamente da un mismo resultado.

14 + 16 = 12 + 18
18 + 22 = 16 + 24

14 + 22 = 12 + 24

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Jorge le dice a Luís: La suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenías
cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací. Entonces, Luís tiene actualmente

Aplicación 4:

Resolución:

De los datos tenemos:

pasado

presente

Jorge

Luís

46

3x

x

3y

y

0

4y

4y

x = 4y

3x = 12y

11y

11y + 12y = 46

y = 2

Luís tiene 12y años

= 24 años

8y

23y = 46

Multiple Choice

La suma de 3 números consecutivos es igual a 219 ¿Cuales son esos números consecutivos?

• 73 + 74 + 75=219

• 74 + 75 + 76 = 219

• 72 + 73 + 74 = 219

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PLANTEO DE ECUACIONES: APLICACIÓN EN PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS

NOCIÓN DE CONJUNTO

Se entiende por conjunto a toda agrupación o colección de elementos con una propiedad determinada.

DIAGRAMAS DE VENN - EULER

Se representa por una figura geométrica
cerrada (generalmente un círculo) que nos
permitirá agrupar todos los elementos de
un conjunto.

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ESTRATEGIA DE SOLUCIÓN
Cuando tenemos problemas en la que los elementos agrupados en conjuntos podrían tener elementos comunes
(conjuntos no disjuntos) se sugiere utilizar los diagramas de Venn – Euler.

Veamos lo siguiente:

A cada región le hemos colado un número que lo identifica

Personas que le gustan lenguaje:Región 1, 4, 5 y 6

Personas que le gustan matemática e historia: Región 6 y 7

Personas que le gustan sólo historia: Región 3

Personas que le gustan sólo lenguaje e historia: Región 5

Personas que le gustan sólo un curso: Región 1, 2 y 3

Personas que le gustan al menos 2 cursos: Región 4, 5, 6 y 7

Personas que no le gustan ninguno de los cursos: Región 8

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En una encuesta a 60 personas
que prefieren fútbol, vóley o
básquet,

se

sabe

que

42

practican fútbol; 36, vóley; 20,
básquet; 24, vóley y fútbol y 4
practican

los

3

deportes.

¿Cuántos de los encuestados
practican

dos

de

los

tres

deportes mencionados?

Aplicación 5
Resolución:
Se observa 3 conjuntos y estos podrían tener elementos comunes, se
puede graficar de la siguiente forma:

FÚTBOL

VÓLEY

BÁSQUET

TOTAL: 60

42

36

20

Nos piden a + b + 20


4

20

a

b

18 - a

12 - b

20

(18 – a) + 20 + (12 – b) + 20 = 60

70 - a - b = 60

10 = a + b

= 30

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ESTRATEGIA DE SOLUCIÓN

Cuando tenemos problemas en la que los elementos agrupados en conjuntos no tienen elementos comunes
(conjuntos disjuntos) se sugiere utilizar los diagramas de Lewis - Carrol.

Veamos lo siguiente:

VARONES

MUJERES

BAILAN

A

B

NO BAILAN

C

D

A: Varones que bailan

B: Mujeres que bailan

C: Varones que no bailan

D: Mujeres que no bailan

NOTA: En problemas de reuniones se considera que la cantidad de varones que bailan y la cantidad de mujeres

que bailan son iguales (A = B)

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En una reunión se observa que el
número de personas que bailan es 3
veces más que el número de personas
que no baila, además
•Las mujeres que no están bailando
son la mitad de los varones que
están bailando.

•La diferencia entre las mujeres que
bailan y los varones que no bailan es
40.

¿Cuántas mujeres están presentes en la
reunión?

Aplicación 6
Resolución:

Ubicamos los datos en el siguiente recuadro

VARONES

MUJERES

BAILAN

NO BAILAN
X

4X

2X

2X

X

0

Planteamos la ecuación:

2X – 0 = 40

X = 20

Número de mujeres = 3X

Número de mujeres es 60
