Fenomeni e funzioni

Fenomeni e funzioni (prima parte)

Open Ended

Vedo una persona che cammina in linea retta e vorrei descriverla al meglio per poi raccontarla perfettamente ad un amico che non l'ha vista direttamente,

come posso fare?

Immaginiamo di aver osservato una persona che cammina in linea retta per 10 sec.

Una possibile descrizione può essere un grafico come quello sovrastante (lo chiameremo grafico in parallelo)

Grafico in parallelo

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Cos'è una variabile?

Grafico in parallelo

Abbiamo visto che l’insieme dei numeri reali è ben rappresentato dall'insieme di punti in una retta, quindi cosa può esserci di meglio di una retta per rappresentare le scelte che possiamo fare per una variabile? 

Il grafico in parallelo, è costituita da due rette orizzontali parallele, su cui rispettivamente giacciono due punti. I punti sono fatti per scorrere e muoversi sulle rispettive rette, quindi si tratta di una costruzione dinamica. Infatti per leggerlo dovremo utilizzare il software online di matematica dinamica Geogebra. 

Multiple Choice

Quante variabili sono coinvolte nel grafico appena visto?

• Una

• Due

• Tre

• Infinite

Multiple Choice

I valori delle variabili, descritte dai punti sulle due rette del grafico, a che insieme di numeri appartengono?

• Numeri naturali

  N

• Numeri interi

  Z

• Numeri razionali

  Q

• Numeri reali

  R

Grafico in parallelo

Prova ad azionare tu il grafico

Nella prossima slide:

1. Inserisci in alto l'espressione p(t)=0.5t+0

2. Muovi i punti per interpretare il grafico

3. Rispondi alle domande

Se necessario, apri in una scheda a parte la pagina Geogebra.

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Che cosa descrive la variabile sulla retta inferiore?

Open Ended

Che cosa descrive la variabile sulla retta superiore?

Multiple Choice

Il punto T sulla retta inferiore può essere mosso direttamente con il mouse.

• VERO

• FALSO

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In che modo il punto P può essere mosso? Perché?

Il punto P rappresenta la variabile posizione.

Essa può essere mossa solo attraverso il movimento del punto T, in modo dipendente. Per questo motivo viene chiamata variabile dipendente.

Posizione p(t)

Il punto T rappresenta la variabile tempo (da 0 a 10 secondi).

Essa può essere mossa indipendentemente dal contesto.

Per questo motivo viene chiamata variabile indipendente.

Tempo t

Due variabili

Variabile dipendente

Nel grafico noi non possiamo decidere la posizione: essa sarà associata alla scelta del valore di tempo.

Esempio. Al secondo 1, il punto P si posizionerà sul valore di posizione corrispondente a 1 secondo e ci dirà a che posizione si trova la persona in quel dato istante.

p(1)=0.5

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In che posizione si trova la persona in moto dopo 4 secondi?

Rappresentazione algebrica

p(t) = at + b

Oltre alla rappresentazione grafica, talvolta la relazione tra posizione e tempo può essere descritta mediante una formula algebrica.

Le passeggiate che vedremo oggi sono descritte come sopra,

con a e b costanti reali.

Esempio: p(t) = 2t + 3

Rappresentazione algebrica

p(t) = at + b

In questo tipo di rappresentazione:

• la variabile indipendente viene descritta da una lettera (in questo caso t)

• la variabile dipendente viene descritta dalla "parola" p(t) (da leggere "p di t"), dove t è la variabile da cui essa dipende e p è la lettera che descrive la relazione tra le due variabili, chiamata anche funzione.

Indaga sul grafico

p(t) = 0.5t + 1

Alla prossima slide inserisci in alto la formula suddetta e cerca di capire cos'è cambiato nella passeggiata finora osservata.

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Cos'è cambiato?

Nella formula algebrica che descrive la passeggiata il valore b corrisponde alla posizione iniziale (t = 0 sec).​

p(t) = a t + b

Multiple Choice

Se ho una passeggiata che è descritta dalla formula

p(t) = 0.5 t + 2.5

All'istante di partenza il camminatore si trova a...

• 0.5 metri

• 2.5 metri

• 3 metri

• Non è dato saperlo

Indaga sul grafico

p(t) = 0.2t + 0

Alla prossima slide inserisci in alto la formula suddetta e cerca di capire cos'è cambiato nella passeggiata finora osservata.

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Cos'è cambiato?

Nella formula algebrica che descrive la passeggiata il valore a corrisponde alla distanza percorsa in 1 secondo (velocità).​

p(t) = a t + b

Multiple Choice

Francesco e Gianni fanno una gara.

Francesco si sposta seguendo la regola f(n) = n + 1

Gianni si sposta seguendo la regola g(n) = 3 n + 0

Chi dei due è più veloce?

Controlla la risposta alla prossima slide.

• Francesco

• Gianni

• Vanno entrambi alla stessa velocità

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Multiple Choice

Francesco e Gianni fanno una seconda gara.

Francesco si sposta seguendo la regola f(n) = 2n + 1

Gianni si sposta seguendo la regola g(n) = -2n + 10

Chi dei due è più veloce?

• Francesco

• Gianni

• Vanno entrambi alla stessa velocità

Il segno di a (positivo o negativo) indica il verso del moto.

a = 2 e a = -2 uguale velocità, ma verso opposto

p(t) = a t + b

Nota bene!

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Indaga sul grafico

Francesco: f(n) = n + 0

Gianni: g(n) = -n + 10

Alla prossima slide inserisci in alto le due formule algebriche e cerca di capire come rispondere alla domanda

"A che istante Francesco e Gianni si incontrano?"

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A che secondo si incontrano Francesco e Gianni?

Indaga sul grafico

Francesco: f(n) = n + 0

Gianni: g(n) = n + 1

Alla prossima slide inserisci in alto le due formule algebriche e cerca di capire come rispondere alla domanda

"A che istante Francesco e Gianni si incontrano?"

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A che secondo si incontrano Francesco e Gianni?

Indaga sul grafico

Francesco: f(n) = 0.5n + 2

Gianni: g(n) = 0.5n + 2

Alla prossima slide inserisci in alto le due formule algebriche e cerca di capire come rispondere alla domanda

"A che istante Francesco e Gianni si incontrano?"

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A che secondo si incontrano Francesco e Gianni?

In conclusione

Se ho due grafici del tipo p(t) = at + b

• Se hanno diversi a e b a seconda del punto di partenza si incontreranno 0 volte o 1 volta

  • f(n) = n + 1 ; g(n) = -n + 10 si incontrano una volta

  • f(n) = 3n + 5 ; g(n) = -3n + 4 non si incontrano (vanno in versi diversi)

In conclusione

Se ho due grafici del tipo p(t) = at + b

• Se hanno lo stesso a si incontreranno sempre o mai a seconda di b

  • f(n) = n + 0 ; g(n) = n + 1 non si incontrano mai

  • f(n) = 0.5n + 2 ; g(n) = 0.5n + 2 si incontrano in ogni istante (si muovono allo stesso modo)

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Ora senza controllare sul grafico.

Francesco: f(n) = 3n - 1

Gianni: g(n) = 3n + 1

A che secondo si incontrano Francesco e Gianni?

Fill in the Blank

Ora senza controllare sul grafico.

Francesco: $$f\left(n\right)=2\ n+\frac{3}{3}$$

Gianni: $$g\left(n\right)=\frac{6}{3}n+1$$

A che secondo si incontrano Francesco e Gianni?

Multiple Choice

Ora senza controllare sul grafico.

Francesco: f(n) = 3n + 5

Gianni: g(n) = -2n + 4

Quale delle due affermazioni è vera?

• Francesco e Gianni si incontrano almeno una volta

• Francesco e Gianni non si incontrano mai

• Francesco e Gianni camminano insieme

Multiple Select

Ora senza controllare sul grafico.

Quali coppie di funzioni descrivono due persone che non si incontrano mai?

• f(n) = 5n - 2

  g(n) = -5n + 2

• f(n) = 3,5n + 3

  g(n) = -n + 2

• $$f\left(n\right)=\frac{2}{4}n+1$$

  g(n) = 0,5 n + 2

Fill in the Blank

Ora senza controllare sul grafico.

Francesco si sposta seguendo la formula algebrica

f(n) = 4

Cosa osserveresti se vedessi dal vivo questo moto?

Multiple Select

Ora senza controllare sul grafico.

Francesco si sposta seguendo la formula algebrica

f(n) = 4 n

Cosa osserveresti se vedessi dal vivo questo moto?

• Gianni al momento di partenza è a 0 m

• Gianni al momento di partenza è a 4 m

• Gianni dopo 10 secondi si trova a 4 m

• Gianni dopo 5 secondi si trova a 20 m