6, 2018/2019, ШК

Всероссийская олимпиада школьников по математике

2018–2019 уч. г.

Школьный этап

6 класс

Poll

Готов размяться?

• ДА

• Да

• Конечно

• Нуу, да

Multiple Choice

34 + 12 =

• 44

• 46

• 54

• 56

• 36

Multiple Choice

13 $$\times$$ 6 =

• 78

• 68

• 87

• 68

• 76

Multiple Choice

96 $$\div$$ 3 =

• 24

• 33

• 32

• 28

• 39

Multiple Choice

78 - 14 =

• 64

• 54

• 68

• 66

• 56

Задача 1.

Лёня умеет умножать числа на 7, Глеб — прибавлять 3, Саша — делить на 4, Андрей — вычитать 5. В каком порядке им нужно выполнять свои операции (каждую ровно 1 раз), чтобы получить из числа 8 число 30?

Multiple Choice

Задача 1.

Лёня умеет умножать числа на 7, Глеб — прибавлять 3, Саша — делить на 4, Андрей — вычитать 5. В каком порядке им нужно выполнять свои операции (каждую ровно 1 раз), чтобы получить из числа 8 число 30?

(в ответах операции записаны последовательно без скобок действий)

• : 4

  + 3

  * 7

  - 5

• + 3

  : 4

  - 5

  * 7

• - 5

  + 3

  * 7

  : 4

• * 7

  + 3

  - 5

  : 4

• : 4

  - 5

  + 3

  * 7

Задача 1.

Лёня умеет умножать числа на 7, Глеб — прибавлять 3, Саша — делить на 4, Андрей — вычитать 5. В каком порядке им нужно выполнять свои операции (каждую ровно 1 раз), чтобы получить из числа 8 число 30?

Ответ: (8 : 4 + 3) · 7 − 5.

Замечание. Это единственное возможное решение.

Задача 2.

Разрежьте приведённую ниже фигуру на три части так, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат 6 × 6.

Резать можно только по линиям сетки. Части могут получиться разными.

Draw

Разрежьте приведённую ниже фигуру на три части так, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат 6 × 6.

Задача 3.

На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды 6 жителей острова собрались вместе и каждый сказал: «Среди остальных пятерых ровно четыре лжеца!». Сколько рыцарей могло среди них быть?

Fill in the Blank

Задача 3.

На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды 6 жителей острова собрались вместе и каждый сказал: «Среди остальных пятерых ровно четыре лжеца!». Сколько рыцарей могло среди них быть? (в ответ запишите числом один из вариантов)

Задача 3.

На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды 6 жителей острова собрались вместе и каждый сказал: «Среди остальных пятерых ровно четыре лжеца!». Сколько рыцарей могло среди них быть?

Ответ: 0 или 2.

Решение. Разберём два случая: среди собравшихся либо есть рыцарь, либо нет. Если среди них есть хотя бы один рыцарь, то он сказал правду, и среди собравшихся четыре лжеца. Второй рыцарь при этом тоже сказал правду, а лжецы солгали, то есть такой случай возможен. Если же рыцарей нет, то все присутствующие — лжецы, и они все солгали, то есть такой случай тоже возможен.

Задача 4.

Маша написала на доске трёхзначное число, а Вера написала рядом такое же число, но перепутала две последние цифры местами. После этого Полина сложила полученные числа и получила четырёхзначную сумму, первые три цифры которой — 195.

Какова последняя цифра этой суммы?

Fill in the Blank

Задача 4.

Маша написала на доске трёхзначное число, а Вера написала рядом такое же число, но перепутала две последние цифры местами. После этого Полина сложила полученные числа и получила четырёхзначную сумму, первые три цифры которой — 195.

Какова последняя цифра этой суммы?

Задача 4.

Маша написала на доске трёхзначное число, а Вера написала рядом такое же число, но перепутала две последние цифры местами. После этого Полина сложила полученные числа и получила четырёхзначную сумму, первые три цифры которой — 195.

Какова последняя цифра этой суммы?

Ответ: 4.

Решение. Пусть Маша написала число 100x + 10y + z. Тогда Вера написала число 100x + 10z + y, и сумма этих чисел равна 200x + 11y + 11z. При x 6 8 это выражение не превышает 1798, а значит, начинаться на 195 не может. Таким образом, x = 9. Тогда 11(y + z) — трёхзначное число, начинающееся на 15. Из трёхзначных чисел, начинающихся на 15, на 11 делится только 154, значит, последняя цифра суммы — 4.

Замечание. Машей могли быть написаны числа 959, 968, 977, 986 или 995.

Задача 5.

Вася и Петя живут в горах и любят ходить друг к другу в гости. При этом в гору они поднимаются со скоростью 3 км/ч, а с горы спускаются со скоростью 6 км/ч (горизонтальных участков дороги нет). Вася посчитал, что до Пети он идёт 2 часа 30 минут, а обратно 3 часа 30 минут.

Какое расстояние между домами Васи и Пети?

Fill in the Blank

Задача 5.

Вася и Петя живут в горах и любят ходить друг к другу в гости. При этом в гору они поднимаются со скоростью 3 км/ч, а с горы спускаются со скоростью 6 км/ч (горизонтальных участков дороги нет). Вася посчитал, что до Пети он идёт 2 часа 30 минут, а обратно 3 часа 30 минут.

Какое расстояние между домами Васи и Пети (в км)?

Задача 5.

Вася и Петя живут в горах и любят ходить друг к другу в гости. При этом в гору они поднимаются со скоростью 3 км/ч, а с горы спускаются со скоростью 6 км/ч (горизонтальных участков дороги нет). Вася посчитал, что до Пети он идёт 2 часа 30 минут, а обратно 3 часа 30 минут. Какое расстояние между домами Васи и Пети?

Ответ: 12 км.

Решение. Дорога от Пети до Васи и обратно занимает 6 часов, при этом, так как в гору идти в два раза медленнее, чем под гору, на все подъёмы ребята тратят в два раза больше времени, чем на спуски. Таким образом, если идти от Пети до Васи и обратно, то на спуски будет потрачено 2 часа, а на подъёмы — 4 часа, то есть длина подобного маршрута равна (6 · 2 + 4 · 3) = 24 км. Следовательно, расстояние от Пети до Васи равно 12 км

Poll

Понравился урок?

• Да

• Даа

• Конечно

• Да, но бывало и лучше