COBA SLIDE

Masalah
Pertumbuhan

01

Draw

1. Masalah Pertumbuhan

Jika y adalah populasi dalam waktu t, k adalah konstanta proportionallitas atau tingkat
pertumbuhan, maka model PDB pertumbuhan populasi adalah
𝑑𝑦
𝑑𝑡= ky
Y (𝑡0) = 𝑦0
Selanjutnya bila k berubah-ubah maka dapat kita ganti dengan h(y) yang dapat dipilih

h(y)= r – ay, maka model pertumbuhan menjadi

𝑑𝑦
𝑑𝑡= ( r – ay) y

𝑑𝑦
𝑑𝑡= r ( 1-

𝑦
𝐾) y dimana K =

𝑟
𝑎

Y (𝑡0) = 𝑦0
PDB Ini dikenal dengan persamaan Verhulst atau persamaan logistik. Solusi kualitatif dari
persamaan ini untuk r dan K positif adalah tertera dalam gambar dibawah ini.

1. Masalah Pertumbuhan

Solusi kualitatif persaman populatif pertumbuhan populasi.

1. Masalah Pertumbuhan

●Contoh 1 :

pertumbuhan populasi memenuhi model sebagai berikut
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 1

100x -
1

(10)𝑠 𝑠2

Bila tahun 1980 jumlah populasinya 100.000 maka

1.Berapa besar populasi tahun 2000 ?

2.Tahun berapa jumlah populasi akan menjadi 2kali tahun 1980 ?

3.Berapa jumlah populasi terbesar untuk t > 1980 ?

1. Masalah Pertumbuhan

●Penyelesaian 1:

Bila tahun 1980 jumlah populasi 100.000 maka dapat dikatakan x(1980) =
100.000 sehingga model PDB sekarang adalah :

𝑑𝑥
𝑑𝑡= 1

100x -
1

(10)𝑠 𝑠2

x (𝑡0) = 𝑥0

●Ubah ke dalam PD dengan variable terpisah.

1

(10)−2𝑥− 10−8𝑥2dx = dt

1. Masalah Pertumbuhan

●Integralkan kedua ruasnya.

׬

1

(10)−2𝑥− 10−8𝑥2 dx = ׬ 𝑑𝑡

׬

1

10−2𝑥( 1− 10−6𝑥)dx = ׬ 𝑑𝑡

100 ׬

1
𝑥+
(10)−6

1− (10)−6𝑥𝑑𝑥 = ׬ 𝑑𝑡

100 ( ln 𝑥 - ln(1 − (10)−6𝑥)) + 𝑐0 = t + 𝑐1

ln
𝑥

1− (10)−6𝑥= 𝑡

100+ 𝑐2

𝑥

1− (10)−6𝑥= 𝑒

𝑡

100+ 𝑐2

1. Masalah Pertumbuhan

𝑥

1− (10)−6𝑥= 𝑐𝑒

𝑡

100

𝑥 =
𝑐𝑒

𝑡

100

1 − (10)−6𝑐𝑒

𝑡

100

Terapkan nilai awal x(1980) = 100.000 didapat 𝑐 =
(10)6

9𝑒19.8 sehingga

𝑥 𝑡 =
(10)6

1 + 9𝑒

19.8−𝑡

100

1. Masalah Pertumbuhan

Dengan demikian beberapa pertanyaan itu dapat diselesaikan sebagai berikut.

1. Jumlah populasi tahun 2000 artinya t = 2000. Subtitusikan nilai t ini ke dalam persamaan
3.1 didapat x = 119,495. Dengan demikian jumlah populasi tahun 2000 adalah 119,495 orang.

2. Jumlah populasi untuk waktu untuk yang tidak terbatas (t → ∞) berarti

X = lim

𝑡→∞

106

1+9𝑒19.8−𝑡/100

X = lim

𝑡→∞

106

1+9𝑒19.8𝑒𝑡/100

X = 106= 1, 000, 000

Dengan demikian jumlah maksimum populasi untuk waktu yang tidak terbatas adalah satu
juta orang.

Peluruhan
Radioaktif

02

2. Peluruhan Radioaktif

Misalkan 𝑁 adalah jumlah kuantitas atau kualitas sesuatu dalam waktu 𝑡,

maka perubahan kita sebut bertambah atau mengalami pertumbuhan dan

berkurang atau mengalami peluruhan berbanding lurus dengan kuantitas N,

dengan kata lain (Lumbantoruan, 2017):

𝑑𝑁
𝑑𝑡= 𝐾𝑁

dengan K adalah konstanta.

2. Peluruhan Radioaktif

Zat radioaktif meluruh dengan memancarkan radiasi secara spontan. maka

laju peluruhan relatif terhadap massanya bernilai konstan. Oleh sebab itu,

model peluruhan atau laju perubahan massa zat radioaktif terhadap waktu

dapat dinyatakan oleh persamaan diferensial :

𝑑𝑁
𝑑𝑡 = 𝐾𝑁

dengan K adalah konstanta peluruhan yang bernilai negatif.

2. Peluruhan Radioaktif

Solusi persamaan diferensial masalah peluruhan dapat dicari dengan cara

berikut.

1) Ubah bentuk persamaan menjadi :

𝑑𝑁
𝑁 = 𝐾 𝑑𝑡

2) Integralkan kedua ruas persamaan, diperoleh :

ln 𝑁 = 𝐾𝑡 + 𝐶1 , 𝐶1 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔

2. Peluruhan Radioaktif

Karena N menyatakan massa zat radioaktif, maka N > 0, sehingga ln 𝑁 = ln 𝑁.

ln 𝑁 = 𝐾𝑡 + 𝐶1

⇔ 𝑒ln 𝑁= 𝑒𝐾𝑡+𝐶1

⇔ 𝑁 = 𝑒𝐾𝑡𝑒𝐶1

misal : 𝐶 = 𝑒𝐶1, C konstanta sebarang, maka :

𝑁 = 𝐶𝑒𝐾𝑡

2. Peluruhan Radioaktif

Misalkan pada saat 𝑡 = 0, 𝑁 0 = 𝑁0 adalah massa zat mula-mula, maka 𝐶

= 𝑁0. Jadi, jika kondisi awal persamaan diferensial tersebut adalah 𝑁 0

= 𝑁0, maka solusi khususnya adalah :

𝑁 = 𝑁0𝑒𝐾𝑡

2. Peluruhan Radioaktif

Contoh Soal :

Sebuah zat radioaktif tertentu diketahui mengalami peluruhan secara konstan

terhadap jumlah yang diketahui. Mula-mula terdapat 50 mg zat radioaktif,

kemudian setelah 2 jam, diketahui bahwa zat tersebut telah kehilangan 10%

masa awalnya.

2. Peluruhan Radioaktif

a) Carilah ekspresi matematis permasalahan di atas!

Jawab :

Diketahui bahwa dari rumus:

𝑁 = 𝐶𝑒𝐾𝑡

𝑁 = Jumlah zat yang ada pada waktu 𝑡

𝐾 = Konstanta

𝑡 = 0; 𝑁 = 50

2. Peluruhan Radioaktif

Maka,

𝑁 = 𝐶𝑒𝐾𝑡

⇒ 50 = 𝐶𝑒𝐾 0

⇔ 50 = 𝐶

Diketahui bahwa setelah 2 jam zat tersebut kehilangan 10% massa awalnya,

maka massa yang hilang dalam 2 jam sebanyak 10% × 50 mg = 5 mg.

Sehingga ketika 𝑡 = 2, massanya menjadi 50 – 5 = 45 mg.

Dari perhitungan tadi kita sudah dapatkan:

𝑁 = 45; 𝐶 = 50; 𝑡 = 2

2. Peluruhan Radioaktif

Kemudian :

𝑁 = 𝐶𝑒𝐾𝑡

⇒ 45 = 50𝑒𝐾 2

⇔ 45

50= 50𝑒𝐾 2

50

⇔ 9

10 = 𝑒𝐾 2

⇔ ln
9
10
= 𝐾(2)

2. Peluruhan Radioaktif

⇔

ln
9
10
2
= 𝐾

⇔ −0,053 = 𝐾

Jadi, ekspresi matematis permasalahan di atas adalah 𝑁 = 50𝑒−0,053𝑡

2. Peluruhan Radioaktif

b) Tentukan massa zat radioaktif tersebut setelah meluruh selama 4 jam!

Jawab :

Dari ekspresi matematis permasalahan yang sudah diketahui, yaitu :

𝑁 = 50𝑒−0,053𝑡

maka saat 𝑡 = 4,

𝑁 = 50𝑒−0,053(4)

⇔ 𝑁 = 40,45 𝑚𝑔

Jadi, massa zat radioaktif tersebut setelah meluruh selama 4 jam menjadi

40,45 𝑚𝑔.

2. Peluruhan Radioaktif

c) Tentukan lama waktu yang dibutuhkan hingga zat tersebut luruh menjadi1

2

massa awalnya!

Jawab :

Diketahui pada soal bahwa massa awal zat tersebut adalah 50 mg, maka apabila

1
2dari massa awalnya berarti massanya menjadi 25 mg, maka :

𝑁 = 50𝑒−0,053𝑡

⇒ 25 = 50𝑒−0,053𝑡

2. Peluruhan Radioaktif

⇔25

50= 50𝑒−0,053𝑡

50

⇔ 1

2= 𝑒−0,053𝑡

⇔ ln 1

2
= ln 𝑒−0,053𝑡

⇔ ln 1

2
= −0,053𝑡

2. Peluruhan Radioaktif

⇔

ln 1

2

−0,053 = 𝑡

⇔ 𝑡 = 13 𝑗𝑎𝑚

●
Bronson, R., & Costa, G. (2014). Schaum’s Outlines: Differential Equations, 4th

Edition. In McGraw-Hill Education (4th ed.)

●
Lumbantoruan, J. H. (2015). Modul Kalkulus Lanjut 2015. Prodi Pendidikan

Matematika Universitas Kristen Indonesia. http://repository.uki.ac.id/1637/1/Modul

Kalkulus Lanjut 2015.pdf.

●
Lumbantoruan, J. H. (2016). Modul Kalkulus Lanjut 2016. Prodi Pendidikan

Matematika Universitas Kristen Indonesia. http://repository.uki.ac.id/1638/1/Modul

Kalkulus Lanjut 2016.pdf.

Daftar Pustaka

●
Lumbantoruan,

J.H.

(2017).

Modul

Kalkulus

Lanjut

2017.Prodi

Pendidikan

Matematika

Universitas

Kristen

Indonesia.

http://repository.uki.ac.id/1653/1/Modul Kalkulus Lanjut 2017.pdf.

●
Lumbantoruan, J. H. (2018a). Modul Geometri II (Geometri Analitik dan

Transformasi).

Produ

Pendidikan

Matematika

Universitas

Kristen

Indonesia.

http://repository.uki.ac.id/1634/1/Modul

Geometri

II%28Geometri Analitik dan Transformasi%29.docx.pdf.

Daftar Pustaka

●
Lumbantoruan, J. H. (2019d). Modul Geometri I (Geometri Datar dan

Ruang). Prodi Pendidikan Matematika Universitas Kristen Indonesia.

http://repository.uki.ac.id/1633/1/Modul Geometri I %28Geometri Datar

dan Ruang%29.pdf.

●
Rina, I., & Husna, R. (2019). APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL

PADA

MODEL

PERTUMBUHAN

POPULASI

DENGAN

PERTUMBUHAN TERBATAS. Sainstek : Jurnal Sains dan Teknologi,

11(1), 22–27.

Daftar Pustaka

Terima Kasih

Kelompok 4

Replace this with a header

​Replace with sub-header

Replace this with your body text. Duplicate this text as many times as you would like. All provided templates can be reused multiple times. Wish you a good day.

Happy teaching!

Replace this text with your body text.

​Duplicate this text as many times as you would like.

​Subheader text

Replace this text with your body text.

​Duplicate this text as many times as you would like.

​Subheader text

Replace this with a header