Numere perfecte

Un număr perfect este un întreg pozitiv care este egal cu suma divizorilor săi corespunzători, adică divizori pozitivi excluzând numărul în sine. De exemplu 6 este un număr perfect, deoarece divizorii corespunzători ai lui 6 sunt 1, 2, 3 și 6=1+2+3.

Suma tuturor divizorilor pozitivi ai unui număr n este notat cu σ (n). Un număr perfect este, prin urmare, un întreg pozitiv n astfel încât σ (n)=2n.

Numerele perfecte au fost de mare interes pentru matematicienii antici, inclusiv grecii, care au atribuit o semnificație mistică proprietății. Este poate oarecum surprinzător faptul că multe întrebări elementare despre numerele perfecte sunt încă deschise. Mai ales, nu se știe dacă există infinit de multe numere perfecte și nu se știe dacă există numere perfecte impare.

Numere pare perfecte

Euclid a demonstrat în Elemente că, dacă 2^p−1 este prim, atunci 2^p−1(2^p−1) este perfect.

Exemple

Primele patru numere perfecte sunt

6=2²⁻¹(2²−1)

28=2³⁻¹(2³−1)

496=2⁵⁻¹(2⁵−1)

8128=2⁷⁻¹(2⁷−1).

Mai mult de 2000 de ani mai târziu, Euler a fost primul care a dat o demonstrație că fiecare număr par perfect a fost de această formă. Aceasta este cunoscută sub numele de teorema Euclid-Euler. Demonstrația lui Euler este destul de elementară:

Teoremă

Un întreg pozitiv n este un număr par perfect dacă și numai dacă n=2^p−1(2^p−1) pentru unele prime pozitive p astfel încât 2^p−1 este prim. (Aici 2^p−1 este cunoscut ca un prim Mersenne.)

Demonstrație

Pentru afirmația "dacă" (Euclid), fie P numărul prim mersenne 2^p−1, și scriem divizorii lui n în mod explicit: aceștia sunt 1, 2, 4, ..., 2^p−1 și P, 2P, ... , 2^p−1P. Suma acestor divizori, prin formula seriei geometrice, este

(2^p−1)+(2^p−1)P=(2^p−1)(P+1)=(2^p−1)2^p=2n.

Deci, suma divizorilor corespunzători este n.

Pentru afirmația "numai dacă" (Euler), unele fapte despre suma funcției divizorilor, notată σ(n), va fi relevantă. În special, σ este multiplicativă: σ(a)σ(b) = σ(ab) dacă a, b sunt relativ prime.

Acum, să presupunem că n este un număr par perfect. Atunci scriem n=2^a−1b, unde a≥2 și b este impar. Pentru că n este perfect, σ (n)=2n. Atunci

2n=σ(n)=σ(2^a−1)σ(b)=(2^a−1)σ(b).

Deci (2^a−1)∣2n. Prin urmare (2^a−1)∣n. Prin urmare n=2^a−1(2^a−1)c pentru un întreg c, iar extinderea ecuației de mai sus produce din nou

2^a(2^a−1)c=(2^a−1)σ((2^a−1)c)

2^ac​=σ((2^a−1)c).​

Dar rețineți că partea dreaptă este cel puțin c+(2^a−1)c deoarece aceștia sunt doi divizori ai lui (2^a−1)c, iar cei doi divizori au suma 2^ac. Deci, concluzia este că egalitatea este adevărată și aceștia sunt doar doi divizori ai lui (2^a−1)c. Acest lucru se poate întâmpla numai dacă c=1 și 2^a−1 este prim. Acest lucru completează demonstrația. □​

(Exercițiu: Unde a utilizat demonstrația faptul că a≥2?)

Soluție

Formula pentru un număr perfect este 2^k(2^k+1−1) unde k+1 este prim.

În expansiunea sa binară, 2^k+1−1 este un șir de "1" de lungime k+1.

2^k−1 este un șir de "0" de lungime k cu un "1'' în coadă.

Prin urmare, a−b=k+1−k=1.

Proprietăți

1. Fiecare număr par perfect se termină cu cifrele 6 sau 28 (când este scris sub formă zecimală).

2. Suma cifrelor iterativă a oricărui număr par perfect, cu excepția lui 6 e 1.

3. Singurul număr perfect fără pătrate este 6.

4. Un număr perfect este un număr armonic; adică, media armonică a divizorilor săi este un întreg. (Nu fiecare număr armonic este perfect, de exemplu, 140.)

5. Dacă există un număr impar perfect, acesta are mai mult decât 300 cifre, cel puțin 75 de divizori primi, cel puțin 9 divizori primi diferiți și cel puțin un divizor prim de cel puțin 20 de cifre.

Bibliografie

Perfect Numbers. Brilliant.org. Retrieved 14:01, March 25, 2023, from https://brilliant.org/wiki/perfect-numbers/