Asimptote

O asimptotă a unei curbe este o linie la care curba converge. Cu alte cuvinte, curba și asimptota ei se apropie infinit, dar nu se întâlnesc niciodată. Asimptotele au o varietate de aplicații: sunt folosite în notația big O, sunt aproximări simple ale ecuațiilor complexe și sunt utile pentru graficele ecuațiilor raționale. În această lecție, vom vedea cum să determinăm asimptotele oricărei curbe date.

În majoritatea cazurilor, asimptota (asimptotele) unei curbe pot fi găsite luând limita unei valori în cazul în care funcția nu este definită. Exemple tipice ar fi ∞ și −∞, sau punctul în care numitorul unei funcții raționale este egal cu zero. Asimptotele sunt, în general, linii drepte, cu excepția cazului în care se menționează altfel. Asimptotele pot fi clasificate în linii mari în trei categorii: orizontale, verticale și oblice. Vom înțelege acum când apare fiecare tip de asimptotă.

Asimptotele verticale

Prin urmare, putem concluziona după cum urmează:

(1) Când x→−∞, curba converge spre partea inferioară și negativă a axei x.
(2) Când x→∞, curba converge spre partea superioară și pozitivă a axei x.
(3) Când x→0^-, curba merge infinit în jos, convergând spre partea negativă a axei y.
(4) Când x→0⁺, curba merge infinit în sus, convergând spre partea pozitivă a axei y.

Probabil ați observat că simpla desenare a graficului este cel mai bun mod de a găsi asimptote și aveți dreptate! Deci, dacă graficul curbei cu care avem de-a face este familiar, desenați graficul și încercați să obțineți o agățare de locul în care ar fi asimptotele. Pentru funcții complexe, estimarea graficului său prin derivare ar fi utilă. Să aruncăm o privire la unele cazuri și să vedem cum se face.

Mai jos sunt prezentate graficele a patru funcții diferite și putem vedea că primul grafic nu are o asimptotă orizontală, al doilea și al treilea grafic au o asimptotă orizontală, iar al patrulea grafic are două asimptote orizontale. Puteți recunoaște ce factori afectează numărul de asimptote orizontale ale unei funcții?

Asimptote orizontale

​y= x−2 x 2 +5x+6 ​

​y= x−2 x 2 +5x+6 ​

​y=e^−x

​y=arctanx

Vă puteți gândi la o funcție care are trei sau mai multe asimptote orizontale?

Nu este posibil să aveți o funcție cu mai mult de două asimptote orizontale. Cu toate acestea, putem avea curbe, care nu sunt funcții pentru a avea mai mult de două asimptote.

Multiple Choice

Găsiți asimptotele orizontale ale lui y=arctan x.

• $$y=\frac{\pi}{2}$$   și $$y=-\frac{\pi}{2}$$  

• $$y=\frac{2}{\pi}$$   și $$y=-\frac{\pi}{2}$$  

• $$y=\frac{2}{\pi}$$   și $$y=-\frac{2}{\pi}$$  

• $$y=\frac{\pi}{2}$$   și $$y=-\frac{2}{\pi}$$  

Soluție

• Exemple

Asimptote oblice

Exemple de probleme

Soluție

Fie y=f(x), atunci f(0)=1 și f(1)=0, care oferă două puncte prin care trece această curbă: (0,1) și (1,0). Tabelul care urmează să fie obținut mai jos ne va oferi, de asemenea, o idee despre cum arată curba.

Prima și a doua derivată al lui f(x) sunt

f′(x)=−e^x+(1−x)e^x=−xe^x

f"(x)​=−e^x−xe^x=−(1+x)e^x.​

Egalând f′(x)=−xe^x=0, avem x=0.
De asemenea, egalând f"(x)=−(1+x)e^x=0 dă x=−1.
Apoi, prin verificarea semnelor lui f′(x) și f"(x) în jurul lui x=−1 și x=0, obținem tabelul alăturat:

Multiple Choice

Care sunt asimptotele graficului $$y=\frac{x^2+1}{2x}$$ ?

• axa y și dreapta $$y=\frac{1}{2}x$$  

• axa y și dreapta $$y=-\frac{1}{2}x$$  

• axa y și dreapta $$y=2x$$  

• axa y și dreapta $$y=x$$  

Soluție

x​	​...	​-1	​...	​0	​...	​1	​...
​f'(x)	​+	​0	​-	​	​-	​0	​+
​f"(x)	​-	​-	​-	​	​+	​+	​+
​f(x)	​convex	​-1	​convex	​	​concav	​1	​concav

Soluție

Bibliografie

Asymptotes. Brilliant.org. Retrieved 12:07, March 31, 2023, from https://brilliant.org/wiki/asymptotes/