1.5 สับเซต

  1.5 สับเซต (subset) 

 

"เซต A เป็นสับเซตของเซต B  ก็ต่อเมื่อ  สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B"

สัญลักษณ์

A เป็นสับเซตของ B  เขียนแทน   A ⊂ B   

อ่านว่า “ A เป็นสับเซตของ B” 

A ไม่เป็นสับเซตของ B  เขียนแทน   A ⊄B  

อ่านว่า “ A ไม่เป็นสับเซตของ B” 

สมบัติของสับเซต 

1.  A ⊂ A  (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง)

2.  A ⊂ U  (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)

3.  ∅ ⊂ A  (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)

4.  ถ้า A ⊂ ∅   แล้ว  A = ∅ 

5.  ถ้า A ⊂ B  และ  B ⊂ C  แล้ว  A ⊂ C  (สมบัติการถ่ายทอด)

6.  A = B  ก็ต่อเมื่อ  A ⊂ B  และ  B ⊂ A

7.  ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว  สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2ⁿ สับเซต

ที่โจทย์กำหนดมาทำโดยเริ่มเขียนตั้งแต่เซตว่าง แล้วตามด้วยเซตที่มีสมาชิก 1 ตัว, 2 ตัว ไปเรื่อยๆ  จนมีสมาชิกเท่ากับเซตที่โจทย์กำหนดมา
(ตัวมันเอง)  โดยสมาชิกที่นำมาใช้เขียนต้องเป็นสมาชิกของเซตที่โจทย์กำหนดมาด้วย

ตัวอย่างที่ 1 จงหาสับเซตทั้งหมดของ A เมื่อ A = {2 , 4}

วิธีทำ    A จะมีสับเซตทั้งหมด  2² =  4  สับเซต  เมื่อแจกแจงสับเซตทั้งหมดจะได้ ดังนี้
1)  ∅                     2)  {2}                     3)  {4}                     4)  {2,4} 

ข้อตกลงเกี่ยวกับการเขียนเซต

ตัวอย่างที่ 2 จงหาสับเซตทั้งหมดของ A เมื่อ A = {2 , 4}

วิธีทำ    A จะมีสับเซตทั้งหมด   =  16  สับเซต  เมื่อแจกแจงสับเซตทั้งหมด

จะได้ ดังนี้
1).  ∅                     2)  {2}                     3)  {4}                     4)  {6} 

5)  {8}                   6)  {2, 4}                 7)  {2, 6}                 8)  {2, 8} 

9)  {4, 6}             10)   {4, 8}               11)  {6, 8}               12)  {2, 4, 6} 

13)  {2, 6, 8}        14)  {2, 4, 8}             15)  {4, 6, 8}          16)  {2, 4, 6, 8}

ตัวอย่างที่ 3   กำหนดให้  A  =  {a, b, c, d}

                    B  =  {b, c, a, d}

จะได้ว่า       1)  A = B  เพราะ A และ B  มีสมาชิกเหมือนกัน

                   2)  A ⊂ B  เพราะสมาชิกทุกตัวของ A  เป็นสมาชิกของ B

                   3)  B ⊂ A  เพราะสมาชิกทุกตัวของ B  เป็นสมาชิกของ A

ดังนั้น  กล่าวได้ว่าด้วยการเป็นสับเซตและการเท่ากันของเซต  จะได้ว่า

                   A = B  ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A

Multiple Choice

สมาชิกที่เป็นสับเซตทั้งหมดของ { $$\phi$$ } มีกี่สับเซต

• 1

• 2

• 3

• 4

Multiple Choice

สับเซตทั้งหมดของ { $$\phi$$ } คือข้อใด

• $$\left\{\phi\right\}$$

• $$\left\{\phi,\ \left\{\phi\right\}\right\}$$

• $$\left\{\left\{\phi\right\},0\right\}$$

• $$\phi,\left\{\phi\right\}$$

Multiple Choice

สับเซตทั้งหมดของ { $$1,\ \left\{1,2\right\}$$ } มีกี่สับเซต

• 1

• 2

• 3

• 4

Multiple Choice

สับเซตทั้งหมดของ { $$1,\ \left\{1,2\right\}$$ } คือข้อใด

• $$1,\ \left\{1,2\right\}$$

• $$\left\{\left\{1\right\},\ \left\{1,2\right\}\right\}$$

• $$\left\{\phi,\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{1,2\right\}\right\}$$

• $$\phi,\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{1,2\right\}$$

Multiple Choice

สับเซตทั้งหมดของ $$\left\{\left\{1,2\right\}\right\}$$ มีสมาชิกกี่สับเซต

• 1

• 2

• 3

• 4

Multiple Choice

สับเซตทั้งหมดของ $$\left\{\left\{1,2\right\}\right\}$$ มีสมาชิกกี่สับเซต

• $$\left\{\left\{\left\{1,2\right\}\right\}\right\}$$

• $$\phi$$

• $$\left\{\left\{1,2\right\}\right\}$$

• $$\left\{\phi,\left\{1,2\right\}\right\}$$