LKS materi induksi matematika pada keterbagian

INDUKSI MATEMATIKA

Penerapan Induksi matematika pada keterbagian

Sebelum kita mengkaji lebih jauh tentang penerapan induksi matematika pada
keterbagian, perlu ditegaskan makna keterbagian dalam hal ini, yaitu habis dibagi
bukan hanya dapat dibagi. Pernyataan "a habis dibagi b" bersinonim dengan: • a
kelipatan b • b faktor dari a • b membagi a Jika p habis dibagi a dan q habis dibagi
a, maka (p + q) juga habis dibagi a. Sebagai contoh, 4 habis dibagi 2 dan 6 habis
dibagi 2, maka (4 + 6) juga habis dibagi 2.

Contoh 1

Buktikan bahwa 7n − 1 habis dibagi 6.

Langkah dasar.

P(1) benar untuk n=1 karena 7n –1= 71 - 1=6 habis dibagi 6

Langkah induktif

Sebagai hipotesis induktif, asumsikan bahwa P(k) benar untuk n = k, yaitu dengan mengasumsikan bahwa (7k – 1) habis dibagi 6 untuk
sebarang bilangan asli k. Sehingga P(k) dapat dinyatakan sebagai 7k – 1 = 6c untuk sebarang bilangan asli c. Selanjutnya dengan
asumsi bahwa 𝑃(𝑘) benar, maka 𝑃(𝑘 + 1) untuk n=k+1, yaitu pernyataan bahwa 7k+1− 1 habis dibagi 6, juga benar. Harus ditunjukkan
bahwa 7k+1 − 1 habis dibagi 6.

Perhatikan bahwa 7k+1− 1 = 7k 7 - 1

= 7k (6 + 1 ) -1

= 7k 6 + 7k - 1

= 7k 6 + 6c

= 6( 7k + c)

Jelas bahwa ruas kanan 6( 7k + c) merupakan kelipatan 6. Jadi P(k + 1) benar. Langkah induktif selesai. Karena langkah dasar dan
langkah induktif dipenuhi, menurut prinsip induksi matematika terbukti bahwa 7 n − 1 habis dibagi 6 untuk sebarang bilangan asli 𝑛

Contoh 2

Buktikan dengan induksi matematika bahwa 𝑛2 + 𝑛 habis dibagi 2 untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

Jawab:

Untuk sebarang bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan 2 adalah faktor dari 𝑛2 + 𝑛. Langkah dasar. 𝑃(1) benar
karena 𝑛2 + 𝑛 = 12 + 1 = 2 = 2 ∙ 1. Sehingga 2 adalah faktor dari 𝑛2 + 𝑛 untuk 𝑛 = 1.

Langkah induktif. asumsikan bahwa P(k) benar, yaitu dengan mengasumsikan bahwa 2 adalah faktor dari 𝑘2 + 𝑘 atau dapat
dinyatakan dengan 𝑘2 + 𝑘 = 2𝑐 untuk sebarang bilangan asli c. Selanjutnya dengan asumsi bahwa P(k) benar, maka P(k + 1), yaitu
pernyataan bahwa 2 adalah faktor dari (𝑘 + 1) 2 + (𝑘 + 1), juga benar. Harus ditunjukkan bahwa 2 adalah faktor dari (𝑘 + 1) 2 + (𝑘 + 1).

Perhatikan bahwa (𝑘 + 1)2 + (𝑘 + 1) = 𝑘2 + 2𝑘 + 1 + 𝑘 + 1

= (𝑘2 + 𝑘) + (2𝑘 + 2)

= (𝑘2 + 𝑘) + 2(𝑘 + 1)

= 2𝑐 + 2(𝑘 + 1)

= 2(𝑐 + 𝑘 + 1)

Dari baris terakhir, karena bentuk (𝑐 + 𝑘 + 1) adalah bilangan bulat, maka jelas bahwa 2 adalah faktor dari (𝑘 + 1)2 + (𝑘 + 1). Jadi P(k
+ 1) benar. Langkah induktif selesai. Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi
matematika terbukti bahwa 𝑛2 + 𝑛 habis dibagi 2 untuk sebarang bilangan asli n

Tugas

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan kebenaran pernyataan berikut!

1.

𝑛3 − 𝑛 + 3 habis dibagi 3 untuk sebarang bilangan asli n.

2.

8n − 3n habis dibagi 5 untuk sebarang bilangan asli n.

3.

𝑛3 − 𝑛 habis dibagi 6 untuk sebarang bilangan asli n.

Oleh: AISYATUL FATIMAH, S.Pd

SELAMAT BEKERJA