Системы счисления 8 класс

Ключевые слова

• система счисления
• цифра
• алфавит
• позиционная система счисления
• основание
• развёрнутая форма записи числа
• свёрнутая форма записи числа
• двоичная система счисления
• восьмеричная система счисления
• шестнадцатеричная система счисления

Система счисления - это знаковая система, в которой

приняты определённые правила записи чисел.

Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа.
Алфавит системы счисления - совокупность цифр.

Общие сведения

Древнеславянская система счисления

Вавилонская система счисления
Египетская система счисления

Узловые числа обозначаются цифрами.

Узловые и алгоритмические числа

Алгоритмические числа получаются в результате каких-
либо операций из узловых чисел.

 100 +
 10 +

=

Простейшая и самая древняя система - унарная система

счисления. В ней для записи любых чисел используется всего
один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек.

Унарная система счисления

Узелковое письмо «кипу»

Зарубки

Примеры узлов «кипу»

Узелки, дощечки

Камушки

Римская система счисления

1

I

100

C

5

V

500

D

10

X

1000

M

50

L

Непозиционная система счисления

Система счисления называется непозиционной, если

количественный

эквивалент

(количественное

значение)

цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.

Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения
и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила:
каждый меньший знак, поставленный справа от большего,
прибавляется

кего

значению,

а

каждый

меньший

знак,

поставленный слева от большего, вычитается из него.

Система

счисления

называется

позиционной,

если

количественный эквивалент цифры в числе зависит от её
положения в записи числа.

Основание

позиционной

системы

счисления

равно

количеству цифр, составляющих её алфавит.

Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9.

Позиционная система счисления

Цифры 1234567890 сложились в Индии около 400 г. н. э.

Арабы стали пользоваться подобной
нумерацией около 800 г. н. э.

Примерно в 1200 г. н. э. эту
нумерацию начали применять в
Европе.

Десятичная система счисления

В позиционной системе счисления с основанием q любое число
может быть представлено в виде:

Aq =±(an–1qn–1+ an–2  qn–2+…+ a0  q0+ a–1q–1+…+ a–m q–m)

Здесь:

А — число;
q — основание системы счисления;
ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы
счисления;
n — количество целых разрядов числа;
m — количество дробных разрядов числа;
qi— «вес» i-го разряда.

Такая запись числа называется развёрнутой формой записи.

Основная формула

Aq =±(an–1  qn–1+ an–2  qn–2+…+ a0  q0+ a–1  q–1+…+ a–m  q–m)

Примеры записи чисел в развёрнутой форме:

2012=2103+0102+1101+2100

0,125=110-1+210-2+510–3

14351,1=1104+4103+3102+5101+1100+110–1

Развёрнутая форма

Двоичная система счисления

Двоичной системой счисления называется позиционная

система счисления с основанием 2.

Двоичный алфавит: 0 и 1.

Для целых двоичных чисел можно записать:

an–1an–2…a1a0 = an–12n–1+ an–22n–2+…+ a020

Например:

100112 =124+023+022+121+120= 24+21+ 20=1910

Правило перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления:

Вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в

свёрнутой форме записи двоичного числа

Правило перевода целых десятичных
чисел в двоичную систему счисления

an–12n–1+an–22n–2+… a121 +a0

= an–12n–2 +…+ a1 (остаток a0)
2

an–12n–1+an–22n–2+… a1

= an–12n–3+…+ a2 (остаток a1)

2

. . .

an–12n–1+an–22n–2+… a2

= an–12n–4 +…+ a3 (остаток a2)

2

На n-м шаге получим набор цифр: a0a1a2…an–1

363 181

90

45

22

11

5

2

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

36310 = 1011010112

314 157

78

39

19

9

4

2

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

31410 = 1001110102

Компактное оформление

an–1an–2…a1a0 = an–18n–1+an–28n–2+…+a080

Пример: 10638 =183+082+681+380=56310.

Для перевода целого восьмеричного числа в десятичную

систему

счисления

следует

перейти

кего

развёрнутой

записи и вычислить значение получившегося выражения.

Восьмеричная система счисления

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную

систему

счисления

следует

последовательно

выполнять

деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до
тех пор, пока не получим частное, равное нулю.

Восьмеричной

системой

счисления

называется

позиционная система счисления с основанием 8.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Основание: q = 16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Шестнадцатеричная система счисления

Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную
систему счисления:

15410 = 9А16

154

16

9

-144

10
(А)

9

16

0

3АF16 =3162+10161+15160=768+160+15=94310.

1) последовательно выполнять деление данного числа и

получаемых целых частных на основание новой системы
счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю;

2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в

новой

системе

счисления,

привести

в

соответствие

с

алфавитом новой системы счисления;

3) составить число в новой системе счисления, записывая

его, начиная с последнего полученного остатка.

Правило перевода целых десятичных чисел
в систему счисления с основанием q

Таблица соответствия 10-х, 2-х, 8-х и 16-х чисел от 1 до 16

Десятичная

система

Двоичная
система

Восьмеричная

система

Шестнадцатеричная

система

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

16

10000

20

10

17

10001

21

11

18

10010

22

12

Двоичная арифметика

Арифметика двоичной системы счисления основывается

на

использовании

следующих

таблиц

сложения

и

умножения:

+

0

1

0

0

1

1

1

10


0

1

0

0

0

1

0

1

Арифметика одноразрядных двоичных чисел

Арифметика многоразрядных двоичных чисел

Умножение и деление двоичных чисел

«Компьютерные» системы счисления

Двоичная система используется в компьютерной технике,

так как:

двоичные

числа

представляются

вкомпьютере

с

помощью

простых

технических

элементов

сдвумя

устойчивыми состояниями;
представление

информации посредством только двух

состояний надёжно и помехоустойчиво;
двоичная

арифметика наиболее проста;

существует

математический аппарат, обеспечивающий

логические преобразования двоичных данных.

Двоичный код удобен для компьютера.
Человеку

неудобно

пользоваться

длинными

и

однородными

кодами.

Специалисты

заменяют

двоичные коды на величины в восьмеричной или
шестнадцатеричной системах счисления.

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты

определённые правила записи чисел.

Система

счисления

называется

позиционной,

если

количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения
в записи числа.

В позиционной системе счисления с основанием q любое число

может быть представлено в виде:

Aq =±(an–1qn–1+ an–2qn–2+…+ a0q0+ a–1q–1+…+ a–mq–m)
Здесь:
А — число;
q — основание системы счисления;
ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n — количество целых разрядов числа;
m — количество дробных разрядов числа;
qi— «вес» i-го разряда.

Самое главное

Опорный конспект

Непозиционная

В позиционной системе счисления с основанием q любое число

может быть представлено в виде:

Aq =±(an–1 qn–1+ an–2  qn–2+…+ a0  q0+ a–1  q–1+…+ a–m  q–m).

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты

определённые правила записи чисел.

Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа.
Алфавит - совокупность цифр системы счисления.

Система счисления

Двоичная

Десятичная

Восьмеричная

Шестнадцатеричная

Римская

Позиционная