Lezione: Disequazioni 1^ grado

Disequazioni

Primo grado e fratte

>Maggiore ≥ Maggiore uguale

< Minore

≤ Minore uguale

Il significato dei simboli

Dati due numeri reali a,b
a > b e a < b
sono disuguaglianze
Una disuguaglianza può essere:

Disuguaglianze

VERA → 7 > 5
FALSA → 3 > 6
POSSIBILE → x > 4

Le disuguaglianze possibili si chiamano

disequazioni

Esempi:

2x < 6 x + 2 ≤ 3x + 1

Se al posto della x sostituiamo un numero la
disequazione si trasforma in disuguaglianza che
può essere Vera oppure Falsa

Disuguaglianze → Disequazioni

Risolvere una disequazione vuol dire trovare l’insieme dei
numeri (intervallo di valori) che sostituiti all’incognita la
trasformano in una disuguaglianza vera

RISOLVERE DISEQUAZIONI

Data la disequazione

4x - 2 > 3x + 1

1.Trasporto tutti i termini al primo membro cambiandone il
segno

4x - 2 - 3x - 1 >0

2.Riduco i termini simili

x - 3 > 0

3. Trasporto nel secondo membro il termine noto (-3)
cambiando il segno

x > 3

x>3

ESEMPIO

Data la disequazione

2x + 2 > 3x - 1

1.Trasporto tutti i termini al primo membro cambiandone il
segno

2x + 2 - 3x + 1 >0

2.Riduco i termini simili

-x + 3 > 0

3. Moltiplico ambo i membri per (- 1) in modo che la variabile x
diventi positiva, cambio tutti i segni

x - 3 < 0

4. Trasporto nel secondo membro il termine noto (-3)
cambiando il segno

x < 3

ESEMPIO

DISEQUAZIONI FRATTE

Una disequazione si dice

frazionaria o fratta

se l’incognita compare
anche al denominatore.

Risolviamo una disequazione fratta

1. Studiare il segno del numeratore;
2. Studiare il segno del denominatore ricordando che esso non può essere nullo;

3. Costruiamo la tabella dei segni;
4. Stabilire il segno del rapporto in base alla regola dei segni;

5. Stabilire in quali intervalli la disequazione è soddisfatta

I Passaggi

DISEQUAZIONI PRODOTTO

Risolviamo una disequazione a fattori

1. Studiare il segno di ciascun fattore f1 ,f2
2. Costruiamo la tabella dei segni;
3. Stabilire il segno del rapporto in base alla regola dei segni;

4. Stabilire in quali intervalli la disequazione è soddisfatta

I Passaggi

La soluzione di queste disequazioni è simile a quello
delle disequazioni fratte, bisogna studiare il segno
della disequazione

(2 − 𝑥)(𝑥 − 3) ≥ 0

ESEMPIO
Risolviamo la seguente disequazione fratta di
primo grado:

Studiamo il segno del primo fattore ponendo f1(x) ≥ 0
otteniamo: 2-x ≥ 0
cambiamo i segni - 2+x ≤ 0
portiamo il termine noto a secondo membro x ≤ 2

Analogamente studiamo il segno del secondo membro
f2(x)>0 otteniamo: x - 3 > 0
portiamo il termine noto a secondo membro x ≥ 3

-

Riportiamo i valori sul grafico dei segni

2

f2

f1

-

+

3

Dobbiamo prendere l’intervallo dei valori
positivi perché la disequazione chiede
maggiore/uguale quindi: S: 2 ≤ x ≤ 3

(2 − 𝑥)(𝑥 − 3) ≥ 0

f1 ⋅ f2

Match

individua le scritte equivalenti

• è almeno di

• non è più di

• non è inferiore a

• non supera i

• come minimo è di

≥

≤

≥

≤

≥

• ≥

• ≤

• ≥

• ≤

• ≥

Multiple Select

Individua le affermazioni vere

• Se -2x > 0 allora x < 2

• Se 4x > ⅓ allora $$x>\frac{1}{12}$$

• se -6x < 18 allora3 < x

• Se ½x < 3 allora x < 6

Multiple Choice

E' data la disequazione in x : a + x ≤ ax - 2

Per quale valore di a risulta impossibile?

• a = - 2

• a = 0

• a = -1

• a = 1

Multiple Select

stabilisci quale delle seguenti affermazioni sono vere

• la disequazione 2x-4-3(x+2)≤-x è verificata per ∀x∈ℜ

• la disequazione $$\frac{2}{x}>1$$ equivale a $$\frac{x}{2}<1$$

• Le disequazioni (x-1)(2x+1)>0 e $$\frac{x-1}{1+2x}>0$$ hanno le stesse soluzioni

• le soluzioni di $$\frac{x-5}{x+2}>0$$ sono x<-2ᵥx>5

Multiple Choice

Lo studio del segno di una disequazione fratta è rappresentato dallo schema a lato.
Quali potrebbero essere il numeratore e il denominatore?

• N(x) = (2x - 1) e D(x) = (1 + x)

• N(x) = (0,5 - x) e D(x) = (1 + x)

• N(x) = (1 + 2x) e D(x) = (1 - x)

• N(x) = (2 - x) e D(x) = (1 + x)

Multiple Choice

Osserva la figura a lato. Essa rappresenta l'insieme delle soluzioni delle seguenti disequazioni eccetto una. Quale?

• 3x − 1 > 2 + 2x

• $$2\ge\frac{6}{x}$$
  

• $$\frac{1}{3-x}\le0$$

• 3 − x < 0

Multiple Choice

Quale delle seguenti disuguaglianze è vera?

• −2a > 3a, con a < 0.

• 4a > 5a, con a > 0.

• −2a < −a , con a < 0.

• −5a > −3a

Multiple Choice

Osserva la figura a lato. Essa rappresenta l'insieme delle soluzioni di una delle seguenti disequazioni. Quale?

• $$\frac{x-2}{x+1}\le0$$

• $$\frac{x+1}{x-2}>0$$

• $$\frac{x+2}{x-1}\le0$$

• $$\frac{x-2}{x+1}\ge0$$