Пространство и размерность

2. Пространство и размерность

​Геометрия изучает форму и взаимное расположение фигур в пространстве. Это то пространство, которое окружает нас. Посмотрим вокруг.
Мы живем в мире трех измерений. Что это значит? Представим, что перед нами стоит дом (рис. 8) и мы хотим описать его, т. е. объяснить, какой он. Мы говорим: «Этот дом длиной в три подъезда, шириной в два окна, высотой в шесть этажей». В общем, этого вполне достаточно, чтобы представить дом. Нам понадобилось задать три величины — длину, ширину и высоту. Эти три измерения мы используем ежедневно, говоря об окружающих нас предметах: высота дерева, длина дороги, ширина тротуара...

Все предметы (тела) в окружающем нас мире имеют три измерения, хотя далеко не у всех можно указать длину, ширину, высоту. Как называется геометрическое тело, полностью описываемое тремя измерениями — длиной, шириной и высотой? Это ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. Вернее, прямоугольный параллелепипед. Все его грани являются прямоугольниками. Многие предметы имеют форму параллелепипеда. Это, например, ящик, кирпич, брус. Параллелепипед можно считать символом нашего пространства. Правда, когда мы говорим «длина, ширина и высота», то имеем в виду измерения параллелепипеда, расположенного конкретным образом на земле (или на столе). Высотой в этом случае мы называем измерение, направленное вертикально вверх от земли. Если мы не знаем, как расположен параллелепипед, то говорить о длине, ширине и высоте было бы не совсем верно. Лучше просто — три измерения. А теперь представим, что высота исчезла. Весь мир стал плоским, как лист бумаги, остались только ДВА ИЗМЕРЕНИЯ — длина и ширина.

Математики говорят, что плоскость является ДВУХМЕРНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ. Какие геометрические фигуры могут «жить» в этом мире? Это, например, квадрат, отрезок, круг. А что еще? Вообразите себя плоским. Вокруг вас живут треугольники, окружности, квадраты, отрезки и другие плоские фигуры. Расскажите, как вам это представляется, какими вы их видите? А что происходит, если они движутся, поворачиваются? Что вы увидите, если плоскость, в которой вы находитесь, пересечет шар, движущийся сквозь плоскость, как сквозь стену?

​двумерное пространство

трёхмерное
пространство

Продолжим мысленные эксперименты. Уберем теперь и ширину. Останется ОДНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО с одним измерением — ДЛИНОЙ. Этот мир полностью лежит на прямой; жители его — отрезки, лучи, точки. Какими они видят друг друга? В удивительном мире геометрии существует и фигура, которая не имеет измерений — длины, ширины, высоты. Вы догадались, что это? Конечно, это ТОЧКА. Схема, приведенная выше, показывает, как увеличение числа измерений влечет за собой изменение и усложнение геометрических фигур.

Multiple Select

Выберите плоские фигуры:

С давних пор люди пытались объемные тела изобразить на плоскости так, чтобы их сразу можно было отличить от плоских, чтобы чувствовалась глубина пространства. Была разработана научная теория перспективы, позволяющая «обмануть» зрение. Картина венгерского художника Виктора Вазарели «Изучение перспективы» — прекрасный тому пример (рис. 9). На ней видно, как линии, уходящие вглубь, сходятся в одной точке, а фигура, находящаяся дальше от нас, изображается в виде фигуры меньших размеров. С понятием перспективы вы подробнее познакомитесь на уроках рисования.

ПЕРСПЕКТИВА — не единственное средство изображения трехмерного пространства на плоскости. Рассмотрите, как Вазарели с помощью изгибов линий удалось передать вмятины, выпуклости, капли на плоском листе бумаги (рис. 10, 11).

В геометрии для облегчения восприятия пространства договорились изображать линии, скрытые от взора наблюдателя, пунктирными. Например, куб принято изображать так, как на рисунке 12, а. Если же мы нарисуем его без пунктирных линий (рис. 12, б), то можно усомниться, что это куб. Может, это просто набор сложенных определенным образом треугольников и четырехугольников? Даже если мы и видим куб, то всякий раз иначе видим, какая грань впереди, а какая сзади.

Пирамиду изобразим так, как на рисунке 13, а. А вот на рисунке 13, б изображен четырехугольник, противоположные вершины которого соединены отрезками. Эти отрезки называются ДИАГОНАЛЯМИ. Пунктирная линия на рисунке 13, а делает этот рисунок объемным и позволяет отличать изображение пирамиды от четырехугольника с диагоналями. Научитесь изображать на клетчатой бумаге куб и пирамиду.

Fill in the Blank

Сколько одинаковых квадратов надо взять, чтобы из них можно было сложить в два раза больший квадрат?

Fill in the Blank

Сколько одинаковых кубиков надо для составления в два раза большего куба?

Draw

Треугольник можно разделить на четыре равных треугольника. Как?