Σύστημα εξισώσεων - Γραφική λύση συστήματος

• Η εξίσωση 3x=12 είναι εξίσωση με έναν άγνωστο (το x).

• Η εξίσωση y=2x-1 είναι εξίσωση με δύο αγνώστους (τους x και y).

Η εξίσωση y=2x έχει ως λύσεις:

​Λύσεις εξίσωσης με δύο αγνώστους

Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους 𝑥, 𝑦 και αναζητούμε το ζεύγος των αριθμών (𝑥, 𝑦) που είναι ταυτόχρονα λύση και των δύο εξισώσεων,

τότε λέμε ότι έχουμε να επιλύσουμε ένα

γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους 𝒙, 𝒚.

​Σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους

Λύση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους 𝑥 και 𝑦 ονομάζεται κάθε ζεύγος τιμών
(𝑥, 𝑦) που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του.

​Σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους

​Σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους

​Σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους

Άσκηση 1 - σελ. 28

Άσκηση 1 - σελ. 28 - Γραφική λύση

​Επομένως η λύση ενός συστήματος δύο εξισώσεων είναι το σημείο τομής (κοινά σημεία) των ευθειών που παριστάνουν οι δύο εξισώσεις.

​Πλήθος λύσεων ενός συστήματος

​Το πλήθος των λύσεων ενός συστήματος είναι ίσο με το πλήθος των κοινών σημείων των αντίστοιχων ευθειών.

​Υπενθύμιση - Σχετικές θέσεις δύο ευθειών

​Το πλήθος των λύσεων ενός συστήματος εξισώσεων δύο ευθειών που τέμνονται, έχει μία λύση
(το κοινό σημείο των δύο ευθειών).

​Αν
𝜺_𝟏 :y=𝝀_𝟏 x+β_𝟏 και
𝜺_𝟐: y=𝝀₂ x+β₂
ένα σύστημα δύο εξισώσεων, τότε:
Αν οι ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει λύση τις συντεταγμένες του σημείου τομής. Άρα, αν 𝝀_𝟏 ≠ 𝝀_𝟐 τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση.

Το σύστημα δύο εξισώσεων δύο ευθειών που είναι παράλληλες, δεν έχει λύση.

​Αν
𝜺_𝟏 :y=𝝀_𝟏 x+β_𝟏 και
𝜺_𝟐: y=𝝀₂ x+β₂
ένα σύστημα δύο εξισώσεων, τότε:
Αν οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε το σύστημα δεν έχει λύση.
Άρα, αν 𝝀_𝟏 = 𝝀_𝟐 και β_𝟏 ≠ β_𝟐 τότε το σύστημα δεν έχει λύση.

Για παράδειγμα το σύστημα με εξισώσεις
y=5x-8,
y=5x+3
δεν έχει λύσεις, (είναι αδύνατο) επειδή οι δύο ευθείες είναι παράλληλες.

Το σύστημα δύο εξισώσεων δύο ευθειών που ταυτίζονται, έχει άπειρες λύσεις. Όλα τα σημεία των δύο ευθειών αποτελούν λύσεις του συστήματος.

​Αν
𝜺_𝟏 :y=𝝀_𝟏 x+β_𝟏 και
𝜺_𝟐: y=𝝀₂ x+β₂
ένα σύστημα δύο εξισώσεων, τότε:
Αν οι ευθείες συμπίπτουν (ταυτίζονται), τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.
Άρα, αν 𝝀_𝟏 = 𝝀_𝟐 και β_𝟏 = β_𝟐 τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

Για παράδειγμα το σύστημα με εξισώσεις
y=5x-2,
2y=10x-4
έχει άπειρες λύσεις, επειδή οι δύο ευθείες ταυτίζονται.