Тренировка теории и практики с комплексными числами

Игротека
Алгебраическая форма комплексного числа.

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

Понятие комплексного числа

Если хотите, комплексное число – это двумерное число. Оно имеет вид z = a + bi, где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица. Число a называется действительной частью (Re z) комплексного числа z, число b называется мнимой частью (Im z) комплексного числа z.

a + bi – это единое число, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: z = bi + a или переставить мнимую единицу: z = a + ib  – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке: z = a + bi.

Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются
на комплексной плоскости:

Понятие комплексного числа

Как упоминалось выше, буквой R принято обозначать множество действительных чисел. Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой C. Поэтому на чертеже следует поставить букву C, обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:
Re z – действительная ось
Im z – мнимая ось

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой
системе координат. По осям нужно задать масштаб, отмечаем: ноль; единицу по
действительной оси; мнимую единицу  по мнимой оси.

Не нужно проставлять все значения: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и ...-3i, -2i, -i, 0, i, 2i, 3i,... .

Рассмотрим чисел десять.

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
z​​₁ = 0, z₂ = -3, z₃ = 2
z₄ = i. z₅ = -√3i, z₆ = 4i
z₇ = 2 + 3i, z₈ = -4 + i, z₉ = -3 - 3i, z₁₀ = √2 - i

Понятие комплексного числа

По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.
Рассмотрим следующие комплексные числа: z​​₁ = 0, z₂ = -3, z₃ = 2. Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось Re z обозначает в точности множество действительных чисел R, то есть на оси Re z сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел R является подмножеством множества комплексных чисел C.

Числа z​​₁ = 0, z₂ = -3, z₃ = 2 – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа z₄ = i. z₅ = -√3i, z₆ = 4i – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси Im z.

В числах z₇ = 2 + 3i, z₈ = -4 + i, z₉ = -3 - 3i, z₁₀ = √2 - i и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не  чертят, потому что они сливаются с осями.

Алгебраическая форма комплексного числа.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, z = a + bi – это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел, о которых пойдет речь.

Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.

Drag and Drop

Сложение комплексных чисел

Пример 1

Сложить два комплексных числа z₁ = 1 + 3i, z₂ = 4 - 5i

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
z₁ + z₂ =​​

Placeholder

= ​​

Placeholder

Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса:​

Placeholder

=​

Placeholder

– от перестановки слагаемых сумма не меняется.​

Drag these tiles and drop them in the correct blank above

1 + 3i + 4 - 5i

5 - 2i

z₁ + z₂

z₂ + z₁

4i - 1i

5 + 8i

Drag and Drop

Вычитание комплексных чисел

Пример 2

Найти разности комплексных чисел z₁ - z₂ и z₂ - z₁ , если z₁ = -2 + i, z₂ = √3 + 5i

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

z₁-z₂ = (-2 + i) -​ (√3 + 5i) = ​​​

Placeholder

-

Placeholder

=

Placeholder

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: -2 - √3.
Для наглядности ответ можно переписать так: z₁ - z₂ =​

Placeholder

-​

Placeholder

.

Drag these tiles and drop them in the correct blank above

(-2 + i)

(√3 - 5i)

-2 - √3 - 4i

(√3 + 5i)

-2 - √3 + 6i

(-2-i)

(-2 - √3)

4i

-4i

(2 - √3)

Drag and Drop

Вычитание комплексных чисел

Пример 2

z₁ = -2 + i, z₂ = √3 + 5i

Рассчитаем вторую разность:
z₂ - z₁ = (√3 + 5i) -​ (-2 + i) =​

Placeholder

+​

Placeholder

=

Placeholder

Здесь действительная часть тоже составная:​

Placeholder

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: (-1 + √2i) + (7 -3i) =​

Placeholder

Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Drag these tiles and drop them in the correct blank above

(√3 + 5i)

(2 - i)

2 + √3 + 4i

2 + √3 + 6i

-2 + √3 + 4i

(-2 - i)

2 + √3

2 - √3

6 + (√2 - 3)i.

6 - (√2 - 3)i.

Drag and Drop

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

i² = -1

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел z₁ = 1 - i, z₂ = 3 + 6i

Очевидно, что произведение следует записать так:
z₁ * z₂ = (1 - i) * (3 + 6i)

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что i² = -1 и быть внимательным.

Повторим школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Подробно:

Placeholder

+​

Placeholder

=​

Placeholder

Надеюсь, всем было понятно, что -i * 6i = ​-6i² =​

Placeholder

= ​

Placeholder

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: z₁ * z₂ = z₂ * z₁ .

В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.​ ​​

Drag these tiles and drop them in the correct blank above

3 - 3i

6i + 6

9 + 3i

-6 * (-1)

-6

6

3 + 3i

-6i + 6

9 - 9i

Drag and Drop

Деление комплексных чисел

Для выполнения этого действия нам понадобится понятие сопряжённого комплексного числа. Число x - yi называют сопряжённым для числа x + yi (и наоборот). Таким образом, x + yi, x - yi  – это пара сопряженных (по отношению друг к другу) чисел.

Пример 4

Даны комплексные числа z₁ = 13 + i, z₂ = 7 - 6i. Найти частное z₁ / z₂.

Составим частное:
z₁ / z₂ = (13 + i) / (7 - 6i)

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю число .

Смотрим на наш знаменатель: 7 - 6i. В знаменателе находится число вида x - yi, поэтому сопряженным для него является x + yi, то есть 7 + 6i.

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на 7 + 6i, и чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число 7 + 6i :

Placeholder

/​

Placeholder

=​

Placeholder

/​

Placeholder

=​

Placeholder

Пример подобран «хороший», если взять два числа «от балды», то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде (53 / 13) - (4 / 13 * i).

Drag these tiles and drop them in the correct blank above

(91 + 7i + 78i - 6)

(49 - (-36))

(85 + 85i)

85

1 + i

(49 + (-36))

13

i

Drag and Drop

Деление комплексных чисел

Пример 4

В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: (-7 - 12i) / (-12 + 7i). Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы:

(-7 - 12i) / (-12 + 7i) =​

Placeholder

/​

Placeholder

=​

Placeholder

/​

Placeholder

.

Для любителей порешать приведу правильный ответ:​​

Placeholder

Drag these tiles and drop them in the correct blank above

(-(7 + 12i))

(-(12 - 7i))

7 + 12i

12 - 7i

i

1

7 - 12i

12 + 7i

-7 - 12i

-12 + 7i

Match

Пример 5

Даны два комплексных числа z₁ = 5 + 2i, z₂ = 2 - 5i. Найти их сумму, разность, произведение и частное.

Это пример для самостоятельного решения.

• Сумма

• Разность

• Произведение

• Частное

7-3i

3+7i

20-21i

i

• 7-3i

• 3+7i

• 20-21i

• i