PRAKTIK INOVATIF PEMBELAJARAN MATEMATIKA

PRAKTEK INOVATIF PEMBELAJARAN MATEMATIKA

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

BARISAN DAN DERET

ARITMETIKA

By : NURJANNAH

A. Barisan Aritmetika

• Definisi

• Bilangan yang tetap tersebut disebut beda

dan dilambangkan dengan b.

• Perhatikan juga barisan-barisan bilangan

berikut ini.

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...
b. 2, 8, 14, 20, ...

Barisan

Aritmetika

c. 30, 25, 20, 15, ...

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan
yang selisih setiap dua suku berturutan selalu
merupakan bilangan tetap (konstan).

Contoh :

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...

+3 +3 +3 +3

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan
bahwa beda sukunya 3 atau b =3.

b. 2, 8, 14, 20, ...

+6 +6 +6

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan
bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c. 30, 25, 20, 15, ...

–5 –5 –5

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan
bahwa beda sukunya –5 atau b = –5.
Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan
suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda
dengan b dapat ditentukan seperti berikut.

Jika

Un

adalah

suku

ke-n

dari

suatu

barisan aritmetika maka berlaku b = Un –
Un-1

1

U = a
U = U + b = a + b
U = U + b = (a + b) + b = a + 2b
U = U + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U = U + b = (a + 3b) + b = a + 4b

.
.
.

U = U + b = a + (n – 1)b

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah

Keterangan: Un = suku ke-n

a = suku pertama
b = beda
n = banyak suku

Un = a + (n – 1)b

1

1

2

2

3

3

4

4

5

n

1n

Contoh 1 :

Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7,

12, ....

Jawab:

–3, 2, 7, 12, …

Suku pertama adalah a = –3 dan
bedanya b = 2 – (–3) = 5.
Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh :

U = –3 + (n – 1)5.

Suku ke-8 : U = –3 + (8 – 1)5 = 32.
Suku ke-20 : U = –3 + (20 – 1)5 = 92.

n

8

20

Contoh 2 :

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.
Tentukan banyak suku barisan tersebut.

Jawab:
Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.
Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2)

= 3,dan
U = 40.

Rumus suku ke-n adalah U = a + (n – 1)b sehingga;

40 = –2 + (n – 1)3
40 = 3n – 5
3n = 45

Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.
Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

n

n

B. Deret Aritmetika

• Definisi

• Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama

barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari
suatu barisan bilangan dinotasikan S .
Dengan demikian, S = U1 + U2 + U3 + ... + U .
Untuk memahami langkah-langkah menentukan
rumus S , perhatikan contoh berikut :

Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku
dari suatu barisan aritmetika. U1 + U2 + U3 + ... +
Un disebut deret aritmetika, dengan Un = a + (n –
1)b.

n

n

n

n

Contoh 1 :

Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11,
14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.

Jawab:

Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat
dituliskansebagai berikut.

S = 2 + 5 + 8 + 11 + 14
S = 14 + 11 + 8 + 5 + 2

2S

= 16 + 16 + 16 + 16 + 16

2S = 5 x 16

S

=

S

= 40

Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

5

5

5

5

5

5

2
16

5

Menentukan rumus umum untuk S
sebagai berikut. Diketahui rumus umum
suku ke-n dari barisan aritmetika adalah
U = a + (n – 1)b. Oleh karena itu,

U = a = a
U = a + b

= U – (a – 2)b

U = a + 2b

= U – (n – 3)b

.

.

.

. . .
.

.

.

U = a + (n – 1)b = U

n

n

1

2

3

n

n

n

n

Dengan demikian, diperoleh ;

S = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b)

= a + (U – (n – 2) b) + (U – (n – 3) b) + ... + U

............ (1)

Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah
b kurang dari suku berikutnya.

U

= U – b

U

= U – b = U – 2b

U

= U – b = U – 3b

Demikian seterusnya sehingga S dapat dituliskan

S = a + (U – (n – 1)b) + … + (U – 2b) + (U – b) + U

.......... (2)

n

n

n

n

1n

1n

2n

2n

3n

n

n

n

n

n
n
n

n

n

Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan, diperoleh ;

S = a + (U – (n – 2)b) + (U – (n – 3)b) + ... +U
S = U + (U – b) + (U – 2b) + ... + a

2S = (a + U ) + (a + U )+ (a + U ) + ... + (a + U )

n suku

Dengan demikian, 2S = n(a + U )

S = n(a + U )

S = n(a + (a + (n – 1)b))

S = n(2a + (n – 1)b)

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

2
1

2
1

2
1

n

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret
aritmetika adalah

Keterangan:
S = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
b = beda
U = suku ke-n
n = banyak suku

Sn = 1/2n(a + U) atau

Sn =1/2n [2a + (n – 1)b]

Contoh 2:

Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 +

8 +....

Jawab:

Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.

S

= x 100 {2(2) + (100 – 1)2}

= 50 {4 + 198}
= 50 (202)
= 10.100

Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut

adalah 10.100.

100

2

1

Contoh 3:

Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3
yang kurang dari 100.

Jawab:
Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah

3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh

a = 3, b = 3, dan U = 99.
Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;

U = a + (n – 1)b

99 = 3 + (n – 1)3
3n = 99

n = 33

Jumlah dari deret tersebut adalah

n

n

S = n (a + U )

S

= x 33(3 + 99)

= 1.683

Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang

dari 100 adalah 1.683

n

n

2
1

2
1

33

PENERAPAN KONSEP
BARISAN DAN DERET

Kaidah barisan dan deret dapat digunakan untuk
memudahkan penyelesaian perhitungan, misalnya
bunga bank, kenaikan produksi, dan laba/rugi
suatu usaha.
Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, kita
harus dapat membedakan apakah persoalan
tersebut termasuk barisan aritmetika, barisan
geometri, deret aritmetika ataupun deret
geometri.
Kemudian, kita dapat menyelesaikan persoalan
tersebut menggunakan rumus-rumus yang berlaku.

Contoh 1:

Ketika awal bekerja, seorang karyawan sebuah
perusahaan digaji Rp700.000,00 per bulan. Setahun
berikutnya, gaji per bulannya akan naik sebesar
Rp125.000,00. Demikian seterusnya untuk tahun-tahun
berikutnya. Berapa gaji karyawan itu per bulan untuk
masa kerjanya sampai pada tahun ke-9?

Jawab:
Kasus ini adalah aplikasi dari barisan aritmetika.

Suku awal a = 700.000
Beda b = 125.000

n = 9

Jadi suku ke-9, dapat ditentukan sebagai berikut.

U = a + (n – 1)b
U = 700.000 + (9 – 1) 125.000

= 700.000 + 1.000.000
= 1.700.000

Jadi, gaji per bulan karyawan itu pada tahun ke-9
adalah Rp1.700.000,00.

n

9

Contoh 2:

Setiap awal bulan Nyoman menabung Rp50.000,00 di
suatu bank yang memberikan bunga 1% per bulan. Pada
tiap akhir bulan, bunganya ditambahkan pada
tabungannya. Berapakah uang Nyoman di bank itu pada
akhir tahun ke-1 jika ia tidak pernah mengambil
tabungannya sampai akhir tahun ke-1?

Jawab:
Misalkan tabungan awal adalah Rp50.000,00.
Pada akhir bulan ke-1
Jumlah uang Nyoman adalah sebagai berikut ;
Bunga yang ia peroleh = 50.000 × 1% = 50.000 × 0,01
Jumlah uang Nyoman = 50.000 + (50.000 × 0,01)

= 50.000(1 + 0,01)
= 50.000(1,01)

Pada akhir bulan ke-2

Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah

jumlah uang pada akhir bulan ke-1 ditambah bunga
sehingga diperoleh ;
= 50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%)
= 50.000(1,01)(1 + 0,01)
= 50.000(1,01)

Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi

=50.000 + (50.000 × 1%)
= 50.000(1 + 0,01)
= 50.000(1,01)

Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-2 adalah

50.000(1,01) + 50.000(1,01) .2

2

Pada akhir bulan ke-3

Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah

50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%)
= 50.000(1,01) (1 + 0,01)
= 50.000(1,01) (1,01)
= 50.000(1,01)

Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi

50.000(1,01) + (50.000(1,01) × 1%)
= 50.000(1,01)(1 + 0,01)
= 50.000(1,01)(1,01)
= 50.000(1,01)

Uang yang sudah dimasukkan pada awal bulan ke-3 menjadi
50.000 + (50.000 × 1%) = 50.000(1 + 1%)

= 50.000(1,01)

2

2

2

3

2

2

Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-3 adalah

50.000(1,01) + 50.000(1,01) + 50.000(1,01)

Demikian seterusnya, sampai akhir bulan ke-12.
Dari hasil perhitungan sampai bulan ke-3, dapat disimpulkan

bahwa jumlah uang tabungan Nyoman adalah
50.000(1,01) + 50.000(1,01)2 + 50.000(1,01)3 + ... +
50.000(1,01)12
= 50.000{1,01 + (1,01)2 + (1,01)3 + ... + (1,01)12}

Deret 1,01 + (1,01)2 + ... + (1,01)12 merupakan deret

geometridengan
a = 1,01, r = 1,01, dan n = 12.

2

3

12

1

01,1

1

)01,1((01,1

12




S

=

=

= 12,83

Oleh karena itu, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun

adalah 50.000 {1,01 + (1,01)2 + ... + (1,01)12}

= 50.000 × 12,83
= 641.500

Jadi, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun adalah

Rp641.500,00.

01,0

)

27,0(

01,1

Silahkan ananda kerjakan quiz berikut

Multiple Choice

Jika rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah Un = 5 - 2n² , maka selisih suku ke-3 dan ke-5 adalah ....

• 32

• -32

• 28

• -28

• 22

Multiple Choice

Suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-4 adalah -4 dan suku ke-9 adalah -19,

maka suku ke-11 adalah ....

• -34

• -29

• -19

• -24

• -14

Multiple Choice

Suatu barisan aritmatika diketahui suku ke 6 adalah –4 dan suku ke 9 adalah –19,

maka suku ke 11 adalah...

• -29

• -34

• -19

• -24

• -14

Multiple Choice

Suku keempat suatu barisan aritmatika sama dengan 19, sedangkan suku kesebelas sama dengan 40. Berapak suku pertama barisan aritmatika tersebut...

• 8

• 9

• 10

• 11

• 5

Multiple Choice

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-5 = 3 dan suku ke-9 = 48. Maka nilai suku ke-2 (U₂) barisan tersebut adalah ...

• 1

• 3/2

• 3/4

• 3/8

• 0

Multiple Choice

Sebuah barisan aritmatika :

39 , 33 , 27 , 21 , ,,,

Nilai suku ke-13 adalah ....

• -33

• -27

• -21

• -15

• -9

Multiple Choice

Dari barisan 3, 5, 7, 9, 11, ... suku ke 21 adalah ....

• 40

• 43

• 46

• 49

• 52

Multiple Choice

Hasil dari 5 + 7 + 9 + 11 + ... + 41 adalah ...

• 437

• 997

• 9957

• 9978

• 9999

Multiple Choice

Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 10 dan 200 !

• 9975

• 9974

• 9957

• 9978

• 9999

Multiple Choice

Suatu barisan aritmetika dirumuskan Un = 6n – 2 tentukan rumus Sn !

• $$S_n=3n^2+n$$

• $$S_n=6n^2+n$$

• $$S_n=2n^2+n$$

• $$S_n=13n^2+n$$

• $$S_n=4n^2+n$$