Relațiile măsurilor unghiurilor unui poligon

Relațiile măsurilor unghiurilor unui poligon

Pentru a găsi o relație pentru măsurile unghiurilor interioare în orice poligon, vom începe prin a examina triunghiurile.

Multiple Choice

Care este suma unghiurilor interioare într-un triunghi regulat?

• 60°

• 90°

• 120°

• 180°

Într-un triunghi regulat, măsura fiecărui unghi este 60°, deci suma măsurilor lor este 3⋅60°=180°, un unghi alungit.

​

Multiple Choice

Este posibil ca un triunghi să aibă unghiuri interioare care nu au suma măsurilor 180^∘?

• Nu, nu este posibil

• Da, unghiurile pot avea o sumă mai mică

• Da, unghiurile pot avea o sumă mai mare

Folosind algebră, putem arăta că trebuie să fie adevărată.

Multiple Choice

În acest triunghi, “a” este măsura în grade a unui unghi interior și A este măsura unui unghi exterior.

Cum sunt unghiurile a și A înrudite?

• 
  a+A=180°

• a−A=180°

• A=180°+a

Acestea sunt o pereche de unghiuri interioare și exterioare, deci

a+A=180°. 

Prin același raționament, știm

b+B=180°,
c+C=180°.

Multiple Choice

Care ecuație leagă toate măsurile unghiurilor interioare și exterioare dintr-un triunghi?

• a+b+c=A+B+C

• a+A+b+B+c+C=3⋅180°

• a+b+c−180°=A+B+C

Deoarece nu contează în ce ordine adunăm necunoscutele și 3⋅180°=540°, putem rescrie ecuația astfel:

a+A+b+B+c+C=3⋅180°
a+b+c+A+B+C=540°
Acum, pentru a simplifica ecuația, ne putem gândi la suma unghiului exterior, A+B+C.

Multiple Choice

Cu ce ecuație este echivalentă

a+b+c+A+B+C=540°?

• a+c=a+b

• a+b+c=180°

• a+b+c=360°

Dacă unghiurile interioare ale unui triunghi au măsurile în grade a , b ,şi c ,atunci

a+b+c=180°.

Suma măsurilor unghiurilor interioare pentru orice triunghi este 180°.

Aceasta este o proprietate importantă a unui triunghi - și nu depinde de lungimile laturilor triunghiului sau de măsurile unghiurilor individuale.

În continuare, vom aplica același tip de raționament pentru a determina suma măsurilor unghiurilor interioare pentru orice poligon.

Sumele măsurilor unghiurilor pentru toate poligoanele

Multiple Choice

Care poligon are o sumă mai mare a măsurilor unghiurilor interioare ? (Este ok să ghicesc.)

• Patrulater

• Pentagon

• Au aceeași sumă

• Depinde

Vom începe prin a lua în considerare poligoane regulate .

Multiple Choice

Când sunt regulat, putem calcula suma măsurilor unghiurilor interioare ale fiecărui poligon.

Care poligon regulat are o sumă mai mare a măsurilor unghiurilor interioare?

• Patrulater

• Pentagon

• Au aceeași sumă

Când ambele sunt regulate, suma măsurilor unghiurilor interioare a unui pentagon este mai mare decât a unui patrulater.

De asemenea, putem calcula o sumă a măsurilor unor unghiuri interioare fără a presupune că un poligon este regulat.

Să începem cu un patrulater.

Multiple Choice

Care este suma tuturor măsurilor unghiurilor interioare și exterioare pentru un patrulater?

• 4⋅90°=360°

• 4⋅180°−90°=630°

• 
  4⋅180°=720°

Multiple Choice

Fiecare pereche de unghiuri interioare și exterioare are suma măsurilor egală cu 180°, deci suma măsurilor tuturor unghiurilor interioare și exterioare ale unui patrulater este 4⋅180°=720°.

Care este suma măsurilor unghiurilor interioare pentru un patrulater?

• 720°−360°=360°

• 720°−180°=540°

• 
  720°+180°=900°

Suma măsurilor unghiurilor interioare pentru orice patrulater este 360°.

Acest lucru nu depinde de măsurile individuale ale unghiului.

Multiple Choice

Acum încearcă să aplici acel raționament unui pentagon.

Care este suma măsurilor unghiurilor interioare pentru un pentagon?

• 5⋅180°+180°=1080°

• 
  5⋅180°−180°=720°

• 
  5⋅180°−360°=540°

Suma măsurilor unghiurilor interioare al unui patrulater este

4⋅180°−360°=360°.

Pentru un pentagon este

5⋅180°−360°=540°.

Se pare că există un model aici.

Multiple Choice

Care este suma măsurilor unghiurilor interioare pentru un poligon cu n laturi?

• n⋅360°

• n⋅180°

• n⋅360°−180°

• n⋅180°−360°

Suma măsurilor unghiurilor interioare și exterioare ale tuturor n-goanelor este n⋅180°. Deci suma măsurilor unghiurilor interioare este

n⋅180°−360°.

Pentru că 360°=2⋅180°, putem scrie n⋅180°−360° ca

n⋅180°−2⋅180°

și dând factor comun avem

180°(n−2).

Suma măsurilor unghiurilor interioare al oricărui n-gon e

180°(n−2).

Acest lucru nu depinde de faptul că un poligon este regulat – este adevărat în toate cazurile.

Multiple Choice

Care este suma măsurilor unghiurilor interioare ale unui 12-gon?

• 180°⋅10=1800°

• 180°⋅12=2160°

• 360°⋅10=3600°

Open Ended

Lecția s-a terminat!!!
Cum ți s-a părut?