Tělesa

​Tělesa - hranoly a válec
Učební materiál pro výuku geometrie v prostoru

​Ing. Anežka Kolúchová

​Plášť

​Podstava

​Síť

Těleso

Prostorový geometrický útvar

Hranoly, válec, jehlan, kužel, koule


Krychle a kvádr jsou speciální případy hranolu

Fill in the Blanks

Fill in the Blanks

Draw

Načrtni krychli, zobraz všechny její hrany.

Krychle

• 8 vrcholů

• 12 hran (délka a)

• 6 stěn (čtverec)

• tvar každé stěny je čtverec

• všechny hrany krychle mají stejnou délku

• všechny vnitřní úhly jsou pravé, tedy jejich velikost je 90°

Zobrazení a síť krychle

Draw

Označ, ze kterých sítí lze sestrojit krychli.

Draw

Dokresli sítě tak, aby bylo možné sestrojit z každého obrazce krychli.

Povrch krychle

Draw

Napiš vzorec pro výpočet povrchu krychle.

Multiple Choice

Vypočítej obsah přední stěny (modrá).

• 8 cm²

• 16 cm²

• 12 cm²

Multiple Choice

Vypočítej povrch krychle.

• 54 cm²

• 32 cm²

• 16 cm²

• 64 cm²

Slovní úlohy

1) Hanka si koupila kostku sýra tvaru krychle s hranou 10 cm. Kolik cm² sýra je pokryto obalem?

2) Na zahradě máš krychlový bazén s hranou 2 m. Kolik vody by bylo potřeba na jeho naplnění? Jak velkou plochu bazén zabírá?

3) Kolik m² materiálu je potřeba na výrobu tří dřevěných beden, když má jedna bedna tvar krychle s hranou o rozměru 2, 5 m?

4) V obchodě chtějí zabalit svíčku tvaru krychle. Svíčka má hranu a = 6 cm. Stačí jim na zabalení 300 cm² celofánu?

5) Kolik čtverečních metrů plechu je třeba na výrobu krychlové nádrže m která je nahoře otevřená? Hrana krychle má délku 94 cm a na záhyby je třeba přidat navíc 11, 8 dm² plechu?

Objem krychle

Bonusové úlohy

​Zdroj: vividbooks.cz

Multiple Choice

Jaký je objem tohoto tělesa?

• 12 cm³

• 1O cm³

• 4 cm³

Multiple Choice

Jaký bude objem krychle, která má hranu 2 cm?

• 6 cm³

• 16 cm³

• 4 cm³

• 8 cm³

Multiple Choice

Jaký bude objem krychle, která má hranu 3 m?

• 9 m³

• 27 m³

• 6 m³

• 18 m³

Slovní úlohy

1) Vypočítej kolik litrů vody se vejde do nádoby tvaru krychle, jejíž hrana má délku 3 m.

2) Jaký je objem krychle, je-li její výška 5 cm.

3) Součet délek všech hran krychle je 48 cm. Jaký je povrch této krychle?

4) Vejde se 1 hl vody do kostky o hraně půl metru?

5) Vypočtěte objem krychle, která má povrch 24 cm².

• 8 vrcholů

• 12 hran (různé délky)

• 6 stěn (protější stěny jsou shodné)

• tvar stěn je obdélník nebo čtverec

• protější stěny jsou rovnoběžné

• všechny vnitřní úhly jsou pravé, tedy jejich velikost je 90°

Kvádr

Síť kvádru

Draw

Načrtni kvádr. Zobraz všechny jeho hrany.

Multiple Select

Ze kterých z těchto sítí lze vytvořit kvádr?

• A

• B

• C

• D

Povrch

Povrch kvádru

​Povrch kvádru je součet obsahů všech jeho jednotlivých stěn.
Lze si nejprve určit obsahy jednotlivých stěn a ty následně sečíst dohromady.

Fill in the Blanks

Multiple Choice

Povrch kvádru je...

• 70 cm²

• 35 cm²

• 350 cm²

• 310 cm²

​Slovní úlohy

1) Vypočítej povrch kvádru, který má rozměry 1 m, 50 cm a 6 dm.
2) Nádrž tvaru kvádru má délku 5 m, šířku 4 m a hloubku 2,5 m. Nádrž nemá víko. Kolik

vody se vejde do nádrže? Kolik balení barvy je potřeba zakoupit, jestliže z jednoho

balení se natře 6 m²?
3) Kolik m ² dlaždic je potřeba na bazén s délkou 20 m, šířkou 8 m a hloubkou 2 m?

Kolik budou dlaždice stát, jestliže cena 1 m ² je 1500 Kč?
4) Na co bude potřeba více barvy? Natření krychle o hraně 5 m nebo kvádru o

rozměrech 2 m, 5 m, 7 m ?
5) Vypočtěte velikost zbývající hrany kvádru a jeho povrch; a = 7 cm, b = 15 cm, V = 1050 cm³.

Objem kvádru

Jednotky objemu

• 1 dm³ = 1 l

• 1 m³ = 1000 l

• 1 cm³ = 1 ml

Multiple Choice

Objem kvádru je...

• 350 cm ³

• 35 cm ³

• 50 cm ³

• 70 cm ³

Slovní úlohy

1) Akvárium má rozměry 50 cm × 30 cm × 40 cm. Kolik litrů vody se do něj vejde?

2) Kolik balícího papíru je potřeba k zabalení dárku tvaru krychle s hranou 3, 2 dm?

3) Korba nákladního auta s rozměry 3 m, 1,5 m a 0,75 m je plná písku. Jakou má písek

hmotnost, jestliže 1 m ³ písku má hmotnost 1500 kg?

4) Kvádr na obrázku má objem 72 cm³. Urči délku jeho třetí chybějící strany.

Slovní úlohy II.

5) Bazén s rozměry dna 3 m a 2 m je napuštěn 96 hl vody. Voda dosahuje 20 cm pod okraj bazénu. Jaká je hloubka bazénu?

6) Bazén má rozměry 3 m, 2 m a 1,5 m. Za jak dlouho se celý naplní vodou, jestliže každou minutu přitečou 3 hl vody?

7) Kolik krychlí s hranou 12 cm se vejde do kvádru s hranami 6, 8,4 a 4,8 dm?

8) Objem kvádru je 72 litrů, výška je 6 dm, délka je 4dm. Jaká je šířka kvádru?

9) Kvádr s podstavou ve tvaru čtverce má výšku 5 cm a objem 45 cm³. Vypočítej obvod jeho podstavy.

Hranoly

• Těleso, které má 2 rovnoběžné, shodné podstavy tvořené mnohoúhelníky.

• Boční stěny jsou obdélníky nebo čtverce

• Boční stěny tvoří plášť hranolu

• Výška hranolu je délka jeho boční hrany

• Výška hranolu vyjadřuje vzdálenost podstav

​Zdroj: vividbooks.cz

Hranoly

Rozdělení

• Trojboký hranol - podstavou je trojúhelník (pravidelný trojboký hranol - podstavou je rovnoramenný trojúhelník)

• Čtyřboký hranol - podstavou je čtyřúhelník (pravidelný čtyřboký hranol - podstavou je čtverec) (krychle - všechny strany mají tvar čtverce, kvádr - podstavou je čtverec nebo obdélník)

• Pětiboký hranol - podstavou je pětiúhelník...

Multiple Choice

Každý hranol má 4 stěny.

• ANO

• NE

Multiple Choice

Boční stěny jsou obdélníky nebo trojúhelníky.

• ANO

• NE

Draw

Vyznač v hranolech podstavy a výšku

Sítě hranolů

Multiple Choice

O jaký hranol se jedná?

• kvádr

• pětiboký hranol

• šestiboký hranol

• krychle

Multiple Choice

Jak může vypadat síť hranolu, který má podstavu lichoběžník?

Draw

Vyznač do sítě výšku, plášť a podstavy hranolu. Napiš, o jaký hranol se jedná a který útvar tvoří jeho podstavu.

Multiple Choice

Jak vypadá síť pravidelného trojbokého hranolu?

Sestroj síť pravidelného trojbokého hranolu s podstavnou hranou délky 4 cm a výškou 3 cm.

Povrch hranolu

S _p .....obsah podstavy
S _pl .....obsah pláště

Je roven součtu obsahů jeho dvou podstav S_p a součtu obsahů jeho bočních stěn, tj. pláště S_pl .

Také obsah sítě hranolu.

​Obsahy podstav

Multiple Choice

Obsah jedné podstavy hranolu je 10 cm² a obsah celého pláště je 48 cm². Vypočítej povrch tohoto hranolu.

• 480 cm²

• 48 cm²

• 58 cm²

• 68 cm²

Povrchy hranolů pomocí sítí

​Čtyřboký hranol s lichoběžníkovou podstavou

​Trojboký hranol

​Čtyřboký hranol s rovnoběžníkovou podstavou

​Povrch:

Slovní úlohy

1) Vypočítej povrch trojbokého hranolu s podstavou rovnoramenného trojúhelníku. Základna podstavy měří 12 cm, rameno 10 cm, v_c = 8 cm. Výška hranolu je 7 cm.

2) Vypočtěte povrch čtyřbokého hranolu, platí-li: podstavou je rovnoramenný lichoběžník se základnami o délkách 10 cm a 6 cm, ramena délky 5 cm, vzdálenost základen je 4,6 cm, výška hranolu je 10 cm.

3) Vypočtěte povrch pravidelného trojbokého hranolu, který má podstavnou hranu a = 6 cm a výšku podstavy v_a = 5,5 cm, výška tělesa v = 8 cm.


4) Vypočítejte povrch a objem hranolu, který má výšku 30 cm a jehož podstavou je kosodélník s délkami stran 10 cm a 5 cm. Výška na delší stranu je 8 cm.

Slovní úlohy II.

5) Dřevěný hranol má průřez ve tvaru rovnoramenného lichoběžníku o základnách délky 3 m a 5 m. Výška hranolu je 3 m a délka je 10 m. Kolik plechovek barvy bude potřeba na nátěr celého hranolu, pokud 1 plechovka vystačí na 20 m².
.
6) Kolik m² plechu je potřeba na povrch čtyřbokého hranolu s postavou rovnoběžníku (strany 5 cm a 4 cm, výška 3 cm), je-li výška hranolu 40 cm.

7) Vypočítej povrch pláště trojbokého hranolu o hranách podstavy 4 dm, 0,3 m, 27 cm. Výška hranolu je 0,73 m.

8) Kolik korun zaplatíme za lepenku potřebnou k pokrytí celé střechy před deštěm, stojí-li 1 m² lepenky 80 Kč? Střecha má tvar trojbokého hranolu, štít je široký 8 m, vysoký 3,5 m. Délka střechy je 7,5 m. Mohl by ti pomoci obrázek.

Objem hranolu

​Obsahy podstav

Jednotky objemu

• 1 dm³ = 1 l

• 1 m³ = 1000 l

• 1 cm³ = 1 ml

Fill in the Blanks

Multiple Choice

Hranol A i hranol B má stejnou výšku, a to 6 cm. Urči, který z nich má větší objem.

• hranol A

• hranol B

• Mají stejný objem

​Slovní úlohy I.

1) Vypočítej objem trojbokého hranolu s podstavou rovnoramenného trojúhelníku. Základna podstavy měří 20 cm, výška na základnu 15 cm. Výška hranolu je 13 cm.

2) Vypočítej objem trojbokého hranolu, jehož podstava je pravoúhlý trojúhelník o rozměrech 5 cm, 12 cm, 13 cm. Výška hranolu je 0,5 m.

3) Pravidelný pětiboký hranol na podstavu s obsahem 20 cm² a objem 80 cm³. Urči výšku hranolu.

4) Hranol má výšku 2, 5 cm a podstavu ve tvaru kosočtverce s délkou strany 4 cm výškou 0, 1 dm. Urči jeho objem.

 Slovní úlohy II.

1) Kolik litrů vody se vejde do vázy tvaru pětibokého hranolu, pokud obsah podstavy je 300 cm² a výška vázy je 0, 4 m?

2) Kolik m³ hlíny je nutné odvézt z výkopu tvaru hranolu, který má délku 10 m a podstavou je

rovnoramenný lichoběžník se základnami 100 cm a 60 cm, rameny 80 cm a výškou 50 cm?

Kolik m² betonových desek bude potřeba na obložení výkopu bez horní základny?

3) Kolik litrů benzínu je v nádrži tvaru čtyřbokého hranolu s podstavou kosočtverce o

straně 25 cm a výšce 45 cm? Benzín sahá do čtyř pětin výšky nádrže. Výška nádrže je 50 cm.

4) Povrch hranolu je 200 cm², obsah jeho pláště je 120 cm² a jeho výška je 3 cm. Vypočítej jeho objem.

5) Máme sklenici ve tvaru pravidelného šestibokého hranolu s podstavou o obsahu 80 cm². Za den se z ní vypaří 0, 2 dl vody. O kolik cm klesne hladina vody ve sklenici?

Válec

• těleso, jehož podstavu tvoří dva shodné, rovnoběžné kruhy

• vzniká otáčením (rotací) obdélníku nebo čtverce kolem jeho jedné strany

• válec nazýváme také rotačním válcem

• vzniká otáčením obdélníku (čtverce) kolem jeho jedné strany - osa otáčení

Multiple Select

Která zobrazená strana je výškou válce?

• AA^'

• AS

• SS'

• A'S

Multiple Select

Rotací kterého útvaru vznikne válec?

• obdélník

• čtverec

• trojúhelník

• lichoběžník

Síť válce

Draw

Načrtni síť válce

• Narýsuj síť válce, pokud víš, že poloměr je 2 cm a výška je 5 cm.

Načtrni si síť válce a vypočítej rozměry jeho rozvinutého pláště.

A. poloměr 3 cm, výška 4 cm,
B. poloměr 4 cm, výška 5 cm,
C. průměr 3 m, výška 4 m,
D. delší strana pláště 6, 28 m, výška 1, 2 m.

Draw

Přiřaď název tělesa ke správné síti.

Povrch válce

Povrch válce - úlohy

1. Vypočítej povrch válce, pokud víš:
- výška 5 cm, poloměr 2 cm,
- výška 6 cm, poloměr 3 cm,
- výška 12 cm, průměr 8 cm,
- výška 0, 5 m, průměr 5 m.
2. Vypočítej obsah pláště válce, který má výšku 26 cm a poloměr 4 cm.

3. Zahradník při setbě trávy využívá válec, který má průměr 60 cm a délku 120 cm. Urči, jakou plochu uválí, pokud s ním zahradník otočí 3x.

V = S_{p⋅v
V = π⋅r}²_⋅v

Objem válce

S_p......obsah podstavy
v.........výška

Jednotky objemu

• 1 dm³ = 1 l

• 1 m³ = 1000 l

• 1 cm³ = 1 ml

Objem válce - úlohy

1. Vypočítej objem válce, který má:

   1. poloměr 10 cm a výšku 25 cm,

   2. poloměr 1, 2 dm a výšku 2 dm,

   3. průměr 3 dm a výšku 20 cm (vyjádři v l).

2. Kolik l vody vleze do bazénu tvaru válce, který má průměr dna 3 m a výšku 2 m?

3. Vypočítej poloměr válce, pokud jeho výška je 7, 8 cm a objem je 250 cm³.

​Slovní úlohy

1. Jaký je povrch hrnce, který má průměr 20 cm a výšku 2, 3 dm?

2. Váza ve tvaru válce má průměr dna 8 cm, výška vázy je 25 cm. Kolik vody je ve váze, pokud voda sahá 5 cm pod horní okraj vázy?

3. Silo má tvar válce s průměrem 6 m a výškou 11 m. Urči, kolik takových sil je potřeba k uskladnění 1500 m³ siláže.

4. Urči kolik m³ zeminy se odveze při hloubení 12 m hluboké studny průměrem 1, 5 m.

Zdroje

https://www.youtube.com/watch?v=Rm9binkPsBo

http://www.schs.cz/predmety/matematika/VY_42_INOVACE_AST_59.pdf

Pracovní list ZŠ Dukelská, autorka J. Krchová. Dostupné z https://www.zsdukelska.cz/media/vyuka/hranoly.pdf

https://www.karlin.mff.cuni.cz/~jole/plichtova/Diplomka/AfinitaAKolineace/?page=OARezyHranolu

https://www.zspeska.cz/e_download.php?file=data/editor/136cs_2.pdf&original=VY_32_INOVACE_42b.pdf

https://slideplayer.cz/slide/12541344/

https://www.zspeska.cz/e_download.php?file=data/editor/136cs_16.pdf&original=VY_32_INOVACE_42o.pdf

www.zs-studanka.cz/file

Hravý početník 2. díl

Matematika pro 8. ročník, 3 díl. Odvárko - Kadleček

učebnice a pracovní sešity Vividbooks
Slovní úlohy byly vytvořeny za pomocí AI