Tělesa

​Tělesa - hranoly a válec
Učební materiál pro výuku geometrie v prostoru

​Ing. Anežka Kolúchová

​Plášť

​Podstava

​Síť

Těleso

Prostorový geometrický útvar

Hranoly, válec, jehlan, kužel, koule


Krychle a kvádr jsou speciální případy hranolu

Fill in the Blank

Jak se nazývá zobrazené těleso?

Fill in the Blank

Jak se nazývá zobrazené těleso?

Draw

Načrtni krychli, zobraz všechny její hrany.

Krychle

• 8 vrcholů

• 12 hran (délka a)

• 6 stěn (čtverec)

• tvar každé stěny je čtverec

• všechny hrany krychle mají stejnou délku

• všechny vnitřní úhly jsou pravé, tedy jejich velikost je 90°

Zobrazení a síť krychle

Draw

Označ, ze kterých sítí lze sestrojit krychli.

Draw

Dokresli sítě tak, aby bylo možné sestrojit z každého obrazce krychli.

Povrch krychle

Draw

Napiš vzorec pro výpočet povrchu krychle.

Multiple Choice

Vypočítej obsah přední stěny (modrá).

• 8 cm²

• 16 cm²

• 12 cm²

Multiple Choice

Vypočítej povrch krychle.

• 54 cm²

• 32 cm²

• 16 cm²

• 64 cm²

Slovní úlohy

1) Hanka si koupila kostku sýra tvaru krychle s hranou 10 cm. Kolik cm² sýra je pokryto obalem?

2) Na zahradě máš krychlový bazén s hranou 2 m. Kolik vody by bylo potřeba na jeho naplnění? Jak velkou plochu bazén zabírá?

3) Kolik m² materiálu je potřeba na výrobu tří dřevěných beden, když má jedna bedna tvar krychle s hranou o rozměru 2, 5 m?

4) V obchodě chtějí zabalit svíčku tvaru krychle. Svíčka má hranu a = 6 cm. Stačí jim na zabalení 300 cm² celofánu?

5) Kolik čtverečních metrů plechu je třeba na výrobu krychlové nádrže m která je nahoře otevřená? Hrana krychle má délku 94 cm a na záhyby je třeba přidat navíc 11, 8 dm² plechu?

Objem krychle

Bonusové úlohy

​Zdroj: vividbooks.cz

Fill in the Blank

Napiš vzorec pro výpočet objemu krychle. (bez mezer)

Multiple Choice

Jaký je objem tohoto tělesa?

• 12 cm³

• 1O cm³

• 4 cm³

Multiple Choice

Jaký bude objem krychle, která má hranu 2 cm?

• 6 cm³

• 16 cm³

• 4 cm³

• 8 cm³

Multiple Choice

Jaký bude objem krychle, která má hranu 3 m?

• 9 m³

• 27 m³

• 6 m³

• 18 m³

Slovní úlohy

1) Vypočítej kolik litrů vody se vejde do nádoby tvaru krychle, jejíž hrana má délku 3 m.

2) Jaký je objem krychle, je-li její výška 5 cm.

3) Součet délek všech hran krychle je 48 cm. Jaký je povrch této krychle?

4) Vejde se 1 hl vody do kostky o hraně půl metru?

5) Vypočtěte objem krychle, která má povrch 24 cm².

• 8 vrcholů

• 12 hran (různé délky)

• 6 stěn (protější stěny jsou shodné)

• tvar stěn je obdélník nebo čtverec

• protější stěny jsou rovnoběžné

• všechny vnitřní úhly jsou pravé, tedy jejich velikost je 90°

Kvádr

Síť kvádru

Draw

Načrtni kvádr. Zobraz všechny jeho hrany.

Multiple Select

Ze kterých z těchto sítí lze vytvořit kvádr?

• A

• B

• C

• D

Povrch

Povrch kvádru

​Povrch kvádru je součet obsahů všech jeho jednotlivých stěn.
Lze si nejprve určit obsahy jednotlivých stěn a ty následně sečíst dohromady.

Fill in the Blank

Je dán kvádr s rozměry:
a = 7 cm,
b = 5 cm,
c = 10 cm

Vypočítej obsah přední stěny (fialová stěna).

Multiple Choice

Povrch kvádru je...

• 70 cm²

• 35 cm²

• 350 cm²

• 310 cm²

​Slovní úlohy

1) Vypočítej povrch kvádru, který má rozměry 1 m, 50 cm a 6 dm.
2) Nádrž tvaru kvádru má délku 5 m, šířku 4 m a hloubku 2,5 m. Nádrž nemá víko. Kolik

vody se vejde do nádrže? Kolik balení barvy je potřeba zakoupit, jestliže z jednoho

balení se natře 6 m²?
3) Kolik m ² dlaždic je potřeba na bazén s délkou 20 m, šířkou 8 m a hloubkou 2 m?

Kolik budou dlaždice stát, jestliže cena 1 m ² je 1500 Kč?
4) Na co bude potřeba více barvy? Natření krychle o hraně 5 m nebo kvádru o

rozměrech 2 m, 5 m, 7 m ?
5) Vypočtěte velikost zbývající hrany kvádru a jeho povrch; a = 7 cm, b = 15 cm, V = 1050 cm³.

Objem kvádru

Jednotky objemu

• 1 dm³ = 1 l

• 1 m³ = 1000 l

• 1 cm³ = 1 ml

Multiple Choice

Objem kvádru je...

• 350 cm ³

• 35 cm ³

• 50 cm ³

• 70 cm ³

Slovní úlohy

1) Akvárium má rozměry 50 cm × 30 cm × 40 cm. Kolik litrů vody se do něj vejde?

2) Kolik balícího papíru je potřeba k zabalení dárku tvaru krychle s hranou 3, 2 dm?

3) Korba nákladního auta s rozměry 3 m, 1,5 m a 0,75 m je plná písku. Jakou má písek

hmotnost, jestliže 1 m ³ písku má hmotnost 1500 kg?

4) Kvádr na obrázku má objem 72 cm³. Urči délku jeho třetí chybějící strany.

Slovní úlohy II.

5) Bazén s rozměry dna 3 m a 2 m je napuštěn 96 hl vody. Voda dosahuje 20 cm pod okraj bazénu. Jaká je hloubka bazénu?

6) Bazén má rozměry 3 m, 2 m a 1,5 m. Za jak dlouho se celý naplní vodou, jestliže každou minutu přitečou 3 hl vody?

7) Kolik krychlí s hranou 12 cm se vejde do kvádru s hranami 6, 8,4 a 4,8 dm?

8) Objem kvádru je 72 litrů, výška je 6 dm, délka je 4dm. Jaká je šířka kvádru?

9) Kvádr s podstavou ve tvaru čtverce má výšku 5 cm a objem 45 cm³. Vypočítej obvod jeho podstavy.

Hranoly

• Těleso, které má 2 rovnoběžné, shodné podstavy tvořené mnohoúhelníky.

• Boční stěny jsou obdélníky nebo čtverce

• Boční stěny tvoří plášť hranolu

• Výška hranolu je délka jeho boční hrany

• Výška hranolu vyjadřuje vzdálenost podstav

​Zdroj: vividbooks.cz

Hranoly

Rozdělení

• Trojboký hranol - podstavou je trojúhelník (pravidelný trojboký hranol - podstavou je rovnoramenný trojúhelník)

• Čtyřboký hranol - podstavou je čtyřúhelník (pravidelný čtyřboký hranol - podstavou je čtverec) (krychle - všechny strany mají tvar čtverce, kvádr - podstavou je čtverec nebo obdélník)

• Pětiboký hranol - podstavou je pětiúhelník...

Multiple Choice

Každý hranol má 4 stěny.

• ANO

• NE

Multiple Choice

Boční stěny jsou obdélníky nebo trojúhelníky.

• ANO

• NE

Fill in the Blank

Kolik podstav má každý hranol?

Draw

Vyznač v hranolech podstavy a výšku

Sítě hranolů

Multiple Choice

O jaký hranol se jedná?

• kvádr

• pětiboký hranol

• šestiboký hranol

• krychle

Multiple Choice

Jak může vypadat síť hranolu, který má podstavu lichoběžník?

Draw

Vyznač do sítě výšku, plášť a podstavy hranolu. Napiš, o jaký hranol se jedná a který útvar tvoří jeho podstavu.

Multiple Choice

Jak vypadá síť pravidelného trojbokého hranolu?

Sestroj síť pravidelného trojbokého hranolu s podstavnou hranou délky 4 cm a výškou 3 cm.

Povrch hranolu

S _p .....obsah podstavy
S _pl .....obsah pláště

Je roven součtu obsahů jeho dvou podstav S_p a součtu obsahů jeho bočních stěn, tj. pláště S_pl .

Také obsah sítě hranolu.

​Obsahy podstav

Multiple Choice

Obsah jedné podstavy hranolu je 10 cm² a obsah celého pláště je 48 cm². Vypočítej povrch tohoto hranolu.

• 480 cm²

• 48 cm²

• 58 cm²

• 68 cm²

Povrchy hranolů pomocí sítí

​Čtyřboký hranol s lichoběžníkovou podstavou

​Trojboký hranol

​Čtyřboký hranol s rovnoběžníkovou podstavou

​Povrch:

Slovní úlohy

1) Vypočítej povrch trojbokého hranolu s podstavou rovnoramenného trojúhelníku. Základna podstavy měří 12 cm, rameno 10 cm, v_c = 8 cm. Výška hranolu je 7 cm.

2) Vypočtěte povrch čtyřbokého hranolu, platí-li: podstavou je rovnoramenný lichoběžník se základnami o délkách 10 cm a 6 cm, ramena délky 5 cm, vzdálenost základen je 4,6 cm, výška hranolu je 10 cm.

3) Vypočtěte povrch pravidelného trojbokého hranolu, který má podstavnou hranu a = 6 cm a výšku podstavy v_a = 5,5 cm, výška tělesa v = 8 cm.


4) Vypočítejte povrch a objem hranolu, který má výšku 30 cm a jehož podstavou je kosodélník s délkami stran 10 cm a 5 cm. Výška na delší stranu je 8 cm.

Slovní úlohy II.

5) Dřevěný hranol má průřez ve tvaru rovnoramenného lichoběžníku o základnách délky 3 m a 5 m. Výška hranolu je 3 m a délka je 10 m. Kolik plechovek barvy bude potřeba na nátěr celého hranolu, pokud 1 plechovka vystačí na 20 m².
.
6) Kolik m² plechu je potřeba na povrch čtyřbokého hranolu s postavou rovnoběžníku (strany 5 cm a 4 cm, výška 3 cm), je-li výška hranolu 40 cm.

7) Vypočítej povrch pláště trojbokého hranolu o hranách podstavy 4 dm, 0,3 m, 27 cm. Výška hranolu je 0,73 m.

8) Kolik korun zaplatíme za lepenku potřebnou k pokrytí celé střechy před deštěm, stojí-li 1 m² lepenky 80 Kč? Střecha má tvar trojbokého hranolu, štít je široký 8 m, vysoký 3,5 m. Délka střechy je 7,5 m. Mohl by ti pomoci obrázek.

Objem hranolu

​Obsahy podstav

Jednotky objemu

• 1 dm³ = 1 l

• 1 m³ = 1000 l

• 1 cm³ = 1 ml

Fill in the Blank

Urči objem hranolu na obrázku.

Multiple Choice

Hranol A i hranol B má stejnou výšku, a to 6 cm. Urči, který z nich má větší objem.

• hranol A

• hranol B

• Mají stejný objem

​Slovní úlohy I.

1) Vypočítej objem trojbokého hranolu s podstavou rovnoramenného trojúhelníku. Základna podstavy měří 20 cm, výška na základnu 15 cm. Výška hranolu je 13 cm.

2) Vypočítej objem trojbokého hranolu, jehož podstava je pravoúhlý trojúhelník o rozměrech 5 cm, 12 cm, 13 cm. Výška hranolu je 0,5 m.

3) Pravidelný pětiboký hranol na podstavu s obsahem 20 cm² a objem 80 cm³. Urči výšku hranolu.

4) Hranol má výšku 2, 5 cm a podstavu ve tvaru kosočtverce s délkou strany 4 cm výškou 0, 1 dm. Urči jeho objem.

 Slovní úlohy II.

1) Kolik litrů vody se vejde do vázy tvaru pětibokého hranolu, pokud obsah podstavy je 300 cm² a výška vázy je 0, 4 m?

2) Kolik m³ hlíny je nutné odvézt z výkopu tvaru hranolu, který má délku 10 m a podstavou je

rovnoramenný lichoběžník se základnami 100 cm a 60 cm, rameny 80 cm a výškou 50 cm?

Kolik m² betonových desek bude potřeba na obložení výkopu bez horní základny?

3) Kolik litrů benzínu je v nádrži tvaru čtyřbokého hranolu s podstavou kosočtverce o

straně 25 cm a výšce 45 cm? Benzín sahá do čtyř pětin výšky nádrže. Výška nádrže je 50 cm.

4) Povrch hranolu je 200 cm², obsah jeho pláště je 120 cm² a jeho výška je 3 cm. Vypočítej jeho objem.

5) Máme sklenici ve tvaru pravidelného šestibokého hranolu s podstavou o obsahu 80 cm². Za den se z ní vypaří 0, 2 dl vody. O kolik cm klesne hladina vody ve sklenici?

Válec

• těleso, jehož podstavu tvoří dva shodné, rovnoběžné kruhy

• vzniká otáčením (rotací) obdélníku nebo čtverce kolem jeho jedné strany

• válec nazýváme také rotačním válcem

• vzniká otáčením obdélníku (čtverce) kolem jeho jedné strany - osa otáčení

Multiple Select

Která zobrazená strana je výškou válce?

• AA^'

• AS

• SS'

• A'S

Multiple Select

Rotací kterého útvaru vznikne válec?

• obdélník

• čtverec

• trojúhelník

• lichoběžník

Síť válce

Draw

Načrtni síť válce

• Narýsuj síť válce, pokud víš, že poloměr je 2 cm a výška je 5 cm.

Načtrni si síť válce a vypočítej rozměry jeho rozvinutého pláště.

A. poloměr 3 cm, výška 4 cm,
B. poloměr 4 cm, výška 5 cm,
C. průměr 3 m, výška 4 m,
D. delší strana pláště 6, 28 m, výška 1, 2 m.

Draw

Přiřaď název tělesa ke správné síti.

Povrch válce

Povrch válce - úlohy

1. Vypočítej povrch válce, pokud víš:
- výška 5 cm, poloměr 2 cm,
- výška 6 cm, poloměr 3 cm,
- výška 12 cm, průměr 8 cm,
- výška 0, 5 m, průměr 5 m.
2. Vypočítej obsah pláště válce, který má výšku 26 cm a poloměr 4 cm.

3. Zahradník při setbě trávy využívá válec, který má průměr 60 cm a délku 120 cm. Urči, jakou plochu uválí, pokud s ním zahradník otočí 3x.

V = S_{p⋅v
V = π⋅r}²_⋅v

Objem válce

S_p......obsah podstavy
v.........výška

Jednotky objemu

• 1 dm³ = 1 l

• 1 m³ = 1000 l

• 1 cm³ = 1 ml

Objem válce - úlohy

1. Vypočítej objem válce, který má:

   1. poloměr 10 cm a výšku 25 cm,

   2. poloměr 1, 2 dm a výšku 2 dm,

   3. průměr 3 dm a výšku 20 cm (vyjádři v l).

2. Kolik l vody vleze do bazénu tvaru válce, který má průměr dna 3 m a výšku 2 m?

3. Vypočítej poloměr válce, pokud jeho výška je 7, 8 cm a objem je 250 cm³.

​Slovní úlohy

1. Jaký je povrch hrnce, který má průměr 20 cm a výšku 2, 3 dm?

2. Váza ve tvaru válce má průměr dna 8 cm, výška vázy je 25 cm. Kolik vody je ve váze, pokud voda sahá 5 cm pod horní okraj vázy?

3. Silo má tvar válce s průměrem 6 m a výškou 11 m. Urči, kolik takových sil je potřeba k uskladnění 1500 m³ siláže.

4. Urči kolik m³ zeminy se odveze při hloubení 12 m hluboké studny průměrem 1, 5 m.

Zdroje

https://www.youtube.com/watch?v=Rm9binkPsBo

http://www.schs.cz/predmety/matematika/VY_42_INOVACE_AST_59.pdf

Pracovní list ZŠ Dukelská, autorka J. Krchová. Dostupné z https://www.zsdukelska.cz/media/vyuka/hranoly.pdf

https://www.karlin.mff.cuni.cz/~jole/plichtova/Diplomka/AfinitaAKolineace/?page=OARezyHranolu

https://www.zspeska.cz/e_download.php?file=data/editor/136cs_2.pdf&original=VY_32_INOVACE_42b.pdf

https://slideplayer.cz/slide/12541344/

https://www.zspeska.cz/e_download.php?file=data/editor/136cs_16.pdf&original=VY_32_INOVACE_42o.pdf

www.zs-studanka.cz/file

Hravý početník 2. díl

Matematika pro 8. ročník, 3 díl. Odvárko - Kadleček

učebnice a pracovní sešity Vividbooks
Slovní úlohy byly vytvořeny za pomocí AI