Belum Berjudullatihan quisis 2

oleh

Trigonometri

Sia

Poll

sudah sipkah kamu belajar?

• siap

• belum

• tidak

MEDIA MENGAJAR

UNTUK SMA/MA KELAS X

MATEMATIKA

TRIGONOMETRI

BAB 3

Sumber gambar: Shutterstock.com

3.1 Perbandingan Trigonometri

𝜃
𝑋

𝑌

0

𝜃
𝑋

𝑌

0

Gambar di atas menunjukkan
sudut positif

𝜃 (+𝜃) .Sudut

positif adalah sudut yang diukur
berlawanan arah jarum jam dari
sumbu X positif.

Gambar di bawah menunjukkan
sudut negatif𝜃 (−𝜃). Sudut negatif
adalah sudut yang diukur searah
jarum jam dari sumbu X positif.

𝜃

depan

samping
𝐴

𝐵

𝐶

Jika besar ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝜃 (theta), maka:
i.

BC disebut sii siku-siku depan sudut 𝜃.

ii.

AB disebut sisi siku-siku samping sudut 𝜃.

iii.

AC adalah hipotenusa, yaitu sisi terpanjang dari
ketiga sisi segitiga siku-siku ABC. Atau sering
disebut sisi miring.

Perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku
ABC didefinisikan sebagai berikut.

sin 𝜃 = sisi depan

hipotenusa = 𝐵𝐶

𝐴𝐶

cos 𝜃 = sisi samping

hipotenusa = 𝐴𝐵

𝐴𝐶

tan 𝜃 = sisi depan

sisi samping = 𝐵𝐶

𝐴𝐵

Contoh

1.Seutas tali yang panjangnya 24 m, salah satu ujungnya diikatkan pada ujung tiang vertikal yang
tingginya h meter dan ujung yang lainnya ditancapkan pada tanah dan membentuk sudut 55°.
Berapa tinggi tiang sesungguhnya?
Jawab:

𝐴

𝐵

𝐶

ℎ m

55°

Berdasarkan gambar di samping posisi sudut 55°, maka:

sin 𝜃 = sisi depan

hipotenusa

sin 55° = ℎ

24 ⟺ ℎ = 24 × sin 55°

ℎ = 19,66 m

Jadi, tinggi tiang adalah sekitar 19,66 m.

2.Tentukan besar 𝜃 pada segitiga di bawah ini.

Jawab:

tan 𝜃 = 24

35 ⟹ 𝜃 = tan−1 24

35

𝜃 = 34,44°

𝜃

25 cm

30 cm

Jawab:

cos 𝜃 = 25

30 ⟹ 𝜃 = cos−1 25

30

𝜃 = 33,56°

24 cm

35 cm

𝜃

3.2 Identitas Trigoonometri

i.

Jumlah sudut 𝜃 + 𝛼 = 90° ⟺ 𝛼 = 90° − 𝜃, maka:

sin 90° − 𝜃 = cos 𝜃
cos 90° − 𝜃 = sin 𝜃
tan 90° − 𝜃 = cot 𝜃
cot 90° − 𝜃 = tan 𝜃

ii.

cos2 𝜃 + sin2 𝜃 = 1

iii.

tan 𝜃 =

sin 𝜃
cos 𝜃dan cot 𝜃 =

cos 𝜃
sin 𝜃

iv.

1 + tan2 𝜃 = sec2 𝜃

v.

cot2𝜃 + 1 = csc2 𝜃

vi.

sin 𝜃 ∙ csc 𝜃 = 1 atau csc 𝜃 =

1

sin 𝜃

cos 𝜃 ∙ sec 𝜃 = 1 atau sec 𝜃 =
1

cos 𝜃

tan 𝜃 ∙ c𝑜𝑡 𝜃 = 1 atau c𝑜𝑡 𝜃 =
1

tan 𝜃

Contoh

1.Buktikan bahwa cos 𝛼 1 − tan 𝛼 = cos 𝛼 − sin 𝛼
Jawab:

cos 𝛼 1 − tan 𝛼 = cos 𝛼 − cos 𝛼 tan 𝛼

= cos 𝛼 − cos 𝛼
sin 𝛼
cos 𝛼

= cos 𝛼 − sin 𝛼

∴ cos 𝛼 1 − tan 𝛼 = cos 𝛼 − sin 𝛼( TERBUKTI)

2.Buktikan bahwa sin4𝛼 − sin2𝛼 = cos4 𝛼 − cos2 𝛼
Jawab:

sin4𝛼 − sin2𝛼 = sin2𝛼 si𝑛2𝛼 − 1

= sin2𝛼 − 1 − sin2𝛼
= 1 − cos2𝛼−cos2𝛼

= −cos2𝛼 + co𝑠4𝛼
= cos4𝛼 − cos2 𝛼

∴ sin4𝛼 − sin2𝛼 = cos4 𝛼 − cos2 𝛼(TERBUKTI)

3.3 Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

𝜃
𝑋

𝑌

0

90°

Kuadran II

sin 𝜃 =

𝑦
𝑟 (positif)

cos 𝜃 = −

𝑥
𝑟 (negatif)

tan 𝜃 = −

𝑦
𝑥 (negatif)

Kuadran I

sin 𝜃 =

𝑦
𝑟 (positif)

cos 𝜃 =

𝑥
𝑟 (positif)

tan 𝜃 =

𝑦
𝑥 (positif)

Kuadran III

sin 𝜃 = −

𝑦
𝑟(negatif)

cos 𝜃 = −

𝑥
𝑟 (negatif)

tan 𝜃 =

𝑦
𝑥 (positif)

270°

𝜃

𝑋

𝑌

360°

Kuadran IV

sin 𝜃 = −

𝑦
𝑟 (negatif)

cos 𝜃 =

𝑥
𝑟 (positif)

tan 𝜃 = −

𝑦
𝑥 (negatif)

270°

𝜃
𝑋

𝑌

180°

𝜃
𝑋

𝑌

0

90°

180°

Menentukan Perbandingan Trigonometri

sin 𝜃 = sin

180° − 𝛼 = sin 𝛼

cos 𝜃 = cos 180° − 𝛼 = − cos 𝛼
tan 𝜃 = tan 180° − 𝛼 = − tan 𝛼

Sudut 𝜃 di kuadran II

(90° ≤ 𝜃 ≤ 180°)

sin 𝜃 = sin

180° + 𝛼 = −sin 𝛼

cos 𝜃 = cos 180° + 𝛼 = − cos 𝛼
tan 𝜃 = tan

180° + 𝛼 = tan 𝛼

Sudut 𝜃 di kuadran III

(180° ≤ 𝜃 ≤ 270°)

sin 𝜃 = sin

360° − 𝛼 = −sin 𝛼

cos 𝜃 = cos 360° − 𝛼 = cos 𝛼
tan 𝜃 = tan

360° − 𝛼 = −tan 𝛼

Sudut 𝜃 di kuadran IV

(270° ≤ 𝜃 ≤ 360°)

sin −𝜃 = −sin 𝜃
cos −𝜃 = cos 𝜃
tan −𝜃 = −tan 𝜃

Sudut (−𝜃) di kuadran IV

Contoh

1.Nyatakan dalam sudut-sudut lancip.
a) cos 105°
b) tan 146°
Jawab:

c)sin 288°

d)cos 301°

a)cos 105° = cos 180 − 75 ° = cos 75°

b)tan 146° = tan 180 − 34 ° = − tan 34°

c)sin 288° = sin

360 − 72 ° = − sin 72°

d)cos 301° = cos (360 − 59)° = cos 59°

Contoh

•cos 135° = cos 180 − 45 °

= − cos 45°

= − 1

2
2

•sin 150° = sin(180 − 30)°

= sin 30°

= 1

2

•tan 315° = tan (360 − 45)°

= tan 45°
= 1

Tabel trigonometri untuk kuadran I