Κοίλα-Ασύμπτωτες-Χάραξη

Οι πιθανές θέσεις των Σημείων Καμπής είναι :

• Εκεί που η δεύτερη παράγωγος ισούται με μηδέν και στα κλειστά άκρα,

• Εκεί που η δεύτερη παράγωγος είναι μηδέν και εκεί που δεν ορίζεται η δεύτερη παράγωγος.

• Εκεί που η δεύτερη παράγωγος είναι μηδέν και εκεί που δεν ορίζεται η πρώτη παράγωγος.

• Εκεί που η δεύτερη παράγωγος είναι μηδέν, εκεί που δεν ορίζεται η πρώτη παράγωγος και στα κλειστά άκρα του πεδίου ορισμού της.

Μια συνάρτηση ΔΕΝ είναι κοίλη όταν :

• Η δεύτερη παράγωγος είναι παντού αρνητική.

• Η πρώτη παράγωγος είναι γνησίως φθίνουσα.

• Η $f''\left(x\right)\le0$ , με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν χ=0 και χ=1

• για $x_1\le x_2$ ισχύει : $f'\left(x_1\right)\le f'\left(x_2\right)$

Ποιά από τις παρακάτω συναρτήσεις δύναται να έχει πλάγια ασύμπτωτη.

• $f\left(x\right)=x^2+x-2020$

• $g\left(x\right)=\frac{x^2-2x+20}{x-8}$

• $h\left(x\right)=e^x+2020$

• $φ\left(x\right)=\frac{x^{2020}-5}{x^{2000}+5}$

Κατακόρυφη ασύμπτωτη αναζητούμε :

• Μόνο στα σημεία ασυνέχειας.

• Μόνο στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της, στα οποία δεν ορίζεται η συνάρτηση.

• Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της, στα οποία δεν ορίζεται η συνάρτηση και στα σημεία ασυνέχειας.

• Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της, στα οποία δεν ορίζεται η συνάρτηση, στα σημεία ασυνέχειας και στο $+\infty,-\infty$ εφόσον είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής $\left(α,+\infty\right)$ αντιστοίχως $\left(-\infty,α\right)$ .

Ποίο από τα παρακάτω ΔΕΝ απαιτείται για την μελέτη και χάραξη μια συνάρτησης.

• Η εύερεση των ριζών της συνάρτησης.

• Η εύρεση των σημείων καμπής της.

• Το να εξετάσουμε αν η συνάρτηση είναι συνεχής.

• Η μελέτη της "συμπεριφοράς" της στα άκρα του πεδίου ορισμού της (οριακές τιμές, ασύμπτωτες κτλ)

Στο σχήμα φαίνεται μια συνάρτηση και η εφαπτομένη της. Ισχύει ότι :

• Στο (ξ,f(ξ)) έχει σημείο καμπής.

• Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω.

• Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα άνω.

• Η συνάρτηση είναι κοίλη μέχρι το ξ και κυρτή μετά το ξ.