ENVIII-2020-Matematică-Test 4-Subiectul III

În figura alăturată sunt reprezentate un pătrat ABCD şi un triunghi dreptunghic isoscel AEB cu m(∢AEB) =90° şi  $AE=4\sqrt{2}$  cm. Puctul F este simetricul punctului C faţă de punctul D.  Determinaţi lungimea segmentului AB.

•  $AB=4\sqrt{2}$  

• Se foloseşte teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic isoscel AEB ⇒ AB = 8 cm.

În figura alăturată sunt reprezentate un pătrat ABCD şi un triunghi dreptunghic isoscel AEB cu m(∢AEB) =90° şi $AE=4\sqrt{2}$ cm. Puctul F este simetricul punctului C faţă de punctul D. Demonstraţi că punctele E, A şi F  sunt coliniare.

• Punctele E , A şi F sunt coliniare dacă m(∢EAF)=180°

• Punctele E, A şi F sunt coliniare dacă nu se află pe aceeaşi dreaptă

În figura alăturată sunt reprezentate un pătrat ABCD şi un triunghi dreptunghic isoscel AEB cu m(∢AEB) =90° şi $AE=4\sqrt{2}$ cm. Puctul F este simetricul punctului C faţă de punctul D. Demonstraţi că punctele E, A şi F sunt coliniare.

• Punctul F este simetricul lui C faţă de D⇒FD=DC⇒m(∢FAD)=30°

• Punctul F este simetricul lui C faţă de D ⇒ FD=DC ⇒m (∢FAD)=45°

În figura alăturată sunt reprezentate un pătrat ABCD şi un triunghi dreptunghic isoscel AEB cu m(∢AEB) =90° şi $AE=4\sqrt{2}$ cm. Puctul F este simetricul punctului C faţă de punctul D. Demonstraţi că punctele  E, A şi F sunt coliniare.

• m(∢FAE)=m(∢FAD)+m(∢DAE)+m(∢EAB)=
  45°+90°+45°=180°.

• m(∢FAE)=m(∢FAD)+m(∢DAE)+m(∢EAB)=
  45°+90°+30°=165°.

În figura alăturată sunt reprezentate un pătrat ABCD şi un triunghi dreptunghic isoscel AEB cu m(∢AEB) =90° şi $AE=4\sqrt{2}$ cm. Puctul F este simetricul punctului C faţă de punctul D. Arătaţi că, dacă punctul P este punctul de intersecţie al dreptelor AC şi DE, atunci P este mijlocul  segmentului DE.

• Punctul P este mijlocul segmentului DE dacă AP este înălţime în triunghiul isoscel DAE.

• Punctul P este mijlocul segmentului DE dacă este punctul de intersecţie al diagonalelor unui paralelogram.

În figura alăturată sunt reprezentate un pătrat ABCD şi un triunghi dreptunghic isoscel AEB cu m(∢AEB) =90° şi $AE=4\sqrt{2}$ cm. Puctul F este simetricul punctului C faţă de punctul D.

• Construim O mijlocul pătratului ABCD, DO=AE= $4\sqrt{2}$
  DO ∥ AE ⇒ AEOD paralelogram ⇒ O mijlocul segmentului DE.

• Construim O mijlocul pătratului ABCD
  DO =AD=AE=EO = $4\sqrt{2}$ ⇒ AEOD romb ⇒ P mijlocul diagonalei DE.

În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu AB=20 cm, AD=10 cm şi AA'=10 cm. Punctele M, N, P, Q sunt mijloacele segmentelor AB, DC, D'C' şi, respectiv, AA'. Determinaţi volumul paralelipipedului dreptunghic ABCDA'B'C'D'.

• $V_{paralelipiped}=\frac{A_b\cdot h}{3}=\frac{2000}{3}cm^3$

• $V_{paralelipiped}=A_b\cdot h=2000\ cm^3$

În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu AB=20 cm, AD=10 cm şi AA'=10 cm. Punctele M, N, P, Q sunt mijloacele segmentelor AB, DC, D'C' şi, respectiv, AA'. Determinaţi lungimea segmentului AC'.

• AC' în triunghiul dreptunghic ACC' cu T.Pitagora⇒ $AC'=10\sqrt{6}$ cm.

• AC' diagonală în paralelipiped dreptunghic, $d^2=L^2+l^2+h^2$ ⇒ $AC'=6\sqrt{10\ }cm.$

În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu AB=20 cm, AD=10 cm şi AA'=10 cm. Punctele M, N, P, Q sunt mijloacele segmentelor AB, DC, D'C' şi, respectiv, AA'. Determinaţi măsura unghiului dintre planele (AMQ) şi (ANP).

• (AMQ) = (AMQA'), (ANP) = (ANPA') cu dreapta comună AA'.

• Planele (AMQ) şi (ANP) nu au dreaptă comună.

În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu AB=20 cm, AD=10 cm şi AA'=10 cm. Punctele M, N, P, Q sunt mijloacele segmentelor AB, DC, D'C' şi, respectiv, AA'. Determinaţi măsura unghiului format de planele (AMQ) şi (ANP).

• MA⊥AA', NA⊥AA'⇒m(∢MAN)=30°.

• MA⊥AA', NA⊥AA'⇒m(∢MAN)=45°.