ENVIII-Matematică-2020-Simulare 2019-Subiectul III

În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic ABCD , cu AB ∥ CD , m∢BAD=90°, AB=12 cm, CD= 4 cm şi AD= 8 cm. Punctul E aparţine laturii AB , astfel încât

AE= 4 cm şi punctul F aparţine laturii AD, astfel încât

AF= 6 cm. Determinaţi aria trapezului ABCD.

• $A_{trapez}=\frac{\left(B+b\right)\cdot h}{2}=64\ cm^2$

• $A_{trapez}=\frac{\left(B\cdot b\right)\cdot h}{2}=192\ cm^2$

În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic ABCD , cu AB ∥ CD , m∢BAD=90°, AB=12 cm, CD= 4 cm şi AD= 8 cm. Punctul E aparţine laturii AB , astfel încât

AE= 4 cm şi punctul F aparţine laturii AD, astfel încât

AF= 6 cm. Determinaţi măsura unghiului BCD.

• AE=DC=4 cm, AE ∥ DC, m∢D=90°⇒AECD dreptunghi⇒ CE⊥AB ⇒m∢BCD = m∢BCE + m∢ECD=m∢BCE+90°.

• Construim CM ⊥ AB , m∢BCD = m∢BCM+m∢MCD = m∢BCM+90°=30°+90°=120°.

În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic ABCD , cu AB ∥ CD , m∢BAD=90°, AB=12 cm, CD= 4 cm şi AD= 8 cm. Punctul E aparţine laturii AB , astfel încât

AE= 4 cm şi punctul F aparţine laturii AD, astfel încât

AF= 6 cm. Determinaţi măsura unghiului BCD.

• m∢BCE în ∆BCE cu tangenta⇒m∢BCE=30°⇒m∢BCD=120°.

• m∢BCE în ∆BCE cu tangenta⇒m∢BCE=45°⇒m∢BCD=135°.

În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic ABCD , cu AB ∥ CD , m∢BAD=90°, AB=12 cm, CD= 4 cm şi AD= 8 cm. Punctul E aparţine laturii AB , astfel încât

AE= 4 cm şi punctul F aparţine laturii AD, astfel încât

AF= 6 cm. Demonstraţi că dreptele CE şi FO sunt perpendiculare, unde {O}=AC∩BD.

• CE⊥FO dacă FO ∥ AB,

  deoarece CE⊥ AB.

• CE ⊥ FO dacă FO înălţime în triunghiul CFE.

În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic ABCD , cu AB ∥ CD , m∢BAD=90°, AB=12 cm, CD= 4 cm şi AD= 8 cm. Punctul E aparţine laturii AB , astfel încât

AE= 4 cm şi punctul F aparţine laturii AD, astfel încât

AF= 6 cm. Demonstraţi că dreptele CE şi FO sunt perpendiculare, unde {O}=AC∩BD.

• FO ∥ AB cu reciproca teoremei lui Thales în ∆DAB.
  Dacă $\frac{DF}{FA}=\frac{DO}{OB}$ , atunci FO∥AB

• FO ∥ AB cu reciproca teoremei lui Thales în ∆DAB.
  Dacă $\frac{DF}{DA}=\frac{FO}{AB}=\frac{DO}{DB}$ , atunci FO∥AB

În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic ABCD , cu AB ∥ CD , m∢BAD=90°, AB=12 cm, CD= 4 cm şi AD= 8 cm. Punctul E aparţine laturii AB , astfel încât

AE= 4 cm şi punctul F aparţine laturii AD, astfel încât

AF= 6 cm. Demonstraţi că dreptele CE şi FO sunt perpendiculare, unde {O}=AC∩BD.

• DC ∥ AB⇒∆DOC $\sim$ ∆AOB⇒ $\frac{DO}{AO}=\frac{OC}{OB}=\frac{DC}{AB}$ ⇒ $\frac{DO}{AO}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

• DC ∥ AB ⇒ ∆DOC $\sim$ ∆BOA (unghiuri alterne interne congruente)⇒ $\frac{DO}{BO}=\frac{OC}{OA}=\frac{DC}{BA}$ ⇒ $\frac{DO}{OB}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic ABCD , cu AB ∥ CD , m∢BAD=90°, AB=12 cm, CD= 4 cm şi AD= 8 cm. Punctul E aparţine laturii AB , astfel încât

AE= 4 cm şi punctul F aparţine laturii AD, astfel încât

AF= 6 cm. Demonstraţi că dreptele CE şi FO sunt perpendiculare, unde {O}=AC∩BD.

• $\frac{DO}{OB}=\frac{1}{3},\ \frac{DF}{FA}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

• $\frac{DO}{OB}=\frac{1}{3},\ \frac{DF}{FA}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ ⇒ $\frac{DO}{OB}=\frac{DF}{FA}$
  ⇒FO ∥ AB, CE ⊥ AB⇒FO ⊥ CE.

În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB=16 cm şi BC= 8 cm . Se consideră O , punctul de intersecţie al diagonalelor dreptunghiului ABCD şi punctul
M, mijlocul segmentului CD. Pe planul dreptunghiului ABCD se construieşte perpendiculara VM = 8 cm, pe care se consideră punctul F, astfel încât $\frac{MF}{VF}=\frac{1}{3}$  . Calculaţi perimetrul dreptunghiului ABCD.

•  $P_{ABCD}=L+l+L+l$  = 48 cm.

•  $P_{ABCD}=L+l$  = 24 cm.

În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB=16 cm şi BC= 8 cm . Se consideră O , punctul de intersecţie al diagonalelor dreptunghiului ABCD şi punctul
M, mijlocul segmentului CD. Pe planul dreptunghiului ABCD se construieşte perpendiculara VM = 8 cm, pe care se consideră punctul F, astfel încât $\frac{MF}{VF}=\frac{1}{3}$ . Determinaţi distanţa de la punctul V la dreapta AB.

• Folosim T3⊥⇒ VM ⊥ (ABCD), MA ⊥AB, MA, AB ⊂(ABCD)
  ⇒VA ⊥AB⇒ d (V, AB) = VA.

• Folosim T3⊥⇒ VM ⊥ (ABCD), MN ⊥AB, MN, AB ⊂(ABCD), unde N este mijlocul segmentului AB,
  ⇒VN ⊥AB⇒ d (V, AB) = VN.

În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB=16 cm şi BC= 8 cm . Se consideră O , punctul de intersecţie al diagonalelor dreptunghiului ABCD şi punctul
M, mijlocul segmentului CD. Pe planul dreptunghiului ABCD se construieşte perpendiculara VM = 8 cm, pe care se consideră punctul F, astfel încât $\frac{MF}{VF}=\frac{1}{3}$ . Determinaţi distanţa de la punctul V la dreapta AB.

• VN în ∆ VMN , MN=AD= 8 cm, cu T.Pitagora⇒ VN=  $8\sqrt{2}$  cm.

• VN în ∆ VMN , MN=AB= 16  cm, cu T.Pitagora⇒ VN=  $8\sqrt{3}$  cm.