Trigonometriska funktioner A sin (Bx+v)+D

 $f\left(x\right)=A\left(\sin\left(Bx\pm v\degree\right)\right)+D$  
Markera alla påståenden som är rätt. 
(Tips: det är bara ett som inte stämmer)

•  $\left|A\right|$  anger amplituden

• för en period gäller: $B\cdot x=360\degree$  

• kurvan flyttas $v\degree$ åt vänster/höger jämfört med   $f\left(x\right)=A\sin\left(Bx\right)+D$  

•  $D$  visar flytt upp eller ner

• Om  $A>0$  så är funktionens största värde:  $A\cdot1+D$  

Answer explanation

Det är flytten i sidled som är fel. För att det ska stämma att  $\pm v\degree$   flyttar kurvan   $v\degree$   ska man bryta ut B:
 $f\left(x\right)=A\left(\sin\left(B\left(x+v\degree\right)\right)\right)+D$  

Kan samma funktionskurva beskrivas både som en sinus och som en cosinus?

• ja, om man förskjuter åt sidan

• nej, det är helt olika kurvor

• ja, om man ändrar amplituden

• ja, om man förskjuter i höjdled

Answer explanation

Visst är det så att om den röda kurvan behöver åka

$\frac{\pi}{2}$ åt höger
för att sammanfalla med den gröna?

Det betyder att kurvan kan beskrivas som
$f\left(x\right)=\sin\ x$ eller $f\left(x\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$
eller för den delen någon annan förskjutning.

Om man ser en trigonometrisk kurva men inte har funktionsuttrycket hur gör man för att:

avgöra perioden

• det är hur långt det är mellan "topparna" i x-led

• det är halva avståndet mellan högsta och lägsta värde

Answer explanation

Man kan också ta mellan dalarna eller mellan två motsvarande ställen på kurvan.

När man vet vad perioden är kan man bestämma B i formeln $f\left(x\right)=A\ \sin\left(B\left(x+v\right)\right)+D$ genom att sätta $B\cdot\text{perioden}=2\pi$

Om man ser en trigonometrisk kurva men inte har funktionsuttrycket hur gör man för att:

avgöra amplituden

• det är hur långt det är mellan "topparna" i x-led

• det är halva avståndet mellan högsta och lägsta värde

Hur bestämmer man förskjutning i sidled och i höjdled utifrån en bild, alltså

 $v\$  och  $D$  i formeln  $f\left(x\right)=A\sin\left(B\left(x+v\right)\right)+D$  

• Visualisera en motsvarande icke förskjuten kurva och hitta en punkt som du vet var den sitter och följ den

• Provar med GeoGebra tills det blir bra?

• Tittar i facit?

• Fråga fröken?

Answer explanation

Efter att du har bestämt A och B vet du hur den icke förskjutna kurvan skulle se ut och då kan du ta origo som utgångspunkt:

för y=sin(x) är det alltid mitten på uppförsbacken, för y=cos(x) får man leta under kullen.

På bilden har jag en streckad "vanlig" sin och en förskjuten blå kurva.

Utifrån den bra punkten ser jag att vi åkte  $\frac{\pi}{4}$  åt vänster och 2 steg ner, därmed är min blå kurva  $f\left(x\right)=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-2$  

Sinus- och cosinuskurvor "svajar" mellan två värden, min och max.

Vilka av följande kurvor svajar som en vanlig sinus, alltså mellan minus 1 och 1?
Värdemängden är alltså:
 $-1\le V_f≤1$  

•  $f\left(x\right)=2\sin x$  

•  $f\left(x\right)=\sin\ 2x$  

•  $f\left(x\right)=\sin\left(x+2\right)$  

•  $f\left(x\right)=\sin x+2$  

Answer explanation

Det som händer "inuti", alltså  sin("HÄR") förändrar kurvan i x-led, +2 ger en flytt åt sidan och *2 ger en ihoptryckning.
Det påverkar inte kurvan i höjdled, därmed är det:
 $f\left(x\right)=\sin\left(x+2\right)$  och  $f\left(x\right)=\sin\left(2x\right)$  

Sinus- och cosinuskurvor "svajar" mellan två värden, min och max.

Vilka av följande kurvor svajar som en vanlig sinus, alltså mellan minus 1 och 1?
Värdemängden är alltså:
$-1\le V_f≤1$

• $f\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}+\pi\right)$

• $f\left(x\right)=\sin\ \left(2x-\frac{\pi}{4}\right)$

• $f\left(x\right)=\sin\left(x+45\degree\right)$

• $f\left(x\right)=3+\sin\ \frac{x}{2}$

Answer explanation

Det som händer "inuti", alltså sin("HÄR")
Det påverkar inte kurvan i höjdled, därmed är det:
$f\left(x\right)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)$ och $f\left(x\right)=\sin\left(x+45\degree\right)$

Sinus- och cosinuskurvor "svajar" mellan två värden, min och max. Halva avståndet mellan min och max är amplituden. 

Vilka kurvor har samma amplitud som en "vanlig" sinuskurva, alltså 1?

• $f\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}+\pi\right)$

• $f\left(x\right)=\sin\ \left(2x-\frac{\pi}{4}\right)$

• $f\left(x\right)=\sin\left(x+45\degree\right)$

• $f\left(x\right)=3+\sin\ \frac{x}{2}$

Answer explanation

Det enda som kan "dra ut" en funktion  $y=f\left(x\right)$  i höjdled är om man gör  $y=k\cdot f\left(x\right)$  

så den enda funktionen som INTE behåller sin klassiska amplituden är  $f\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}+\pi\right)$  
Alla andra har fortfarande amplituden 1.

Sinus- och cosinuskurvor är periodiska. De upprepar sig. "Vanlig" sinus och cosinus har perioden  $2\pi$   (  $360\degree$  )

Vilken av följande funktionen har en "vanlig" period på  $2\pi$  ?

•  $f\left(x\right)=\sin\left(\frac{x}{2}+\pi\right)+1$ 

•  $f\left(x\right)=5\sin\ \left(2x\right)$ 

•  $f\left(x\right)=7\sin\left(x+45\degree\right)-13$ 

•  $f\left(x\right)=\sin\ \frac{x}{2}$ 

Answer explanation

Perioden påverkas av en ihop/isärdragning i x-led, därmed ska förändringen jämfört med  $y=\sin\left(x\right)$  sitta inuti:   sin(HÄR*x)

Den enda funktionen som inte är ändrad är  $f\left(x\right)=7\sin\left(x+45\degree\right)-13$  

Sinus- och cosinuskurvor är periodiska. De upprepar sig. "Vanlig" sinus och cosinus har perioden  $2\pi$   (  $360\degree$  )

Vilka av följande funktionen har en längre period än vanlig sinus, alltså mer än  $2\pi$   ?

•  $f\left(x\right)=\sin\left(\frac{x}{3}+\pi\right)+1$ 

•  $f\left(x\right)=5\sin\ \left(2x\right)$ 

•  $f\left(x\right)=7\sin\left(x+45\degree\right)-13$ 

•  $f\left(x\right)=\sin\ \frac{x}{2}$ 

Answer explanation

Perioden påverkas av en ihop/isärdragning i x-led, därmed ska förändringen jämfört med  $y=\sin\left(x\right)$  sitta inuti:   sin(HÄR*x)
Det man har inuti sker intuitivt "åt fel håll",  $y=\sin\left(2x\right)$  är ihoptryckt och  $y=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$  är isärdragen jämfört med  $y=\sin x$