Integrale nedefinite.

O primitivă  $F$  a funcției

 $f:\left(0,\infty\right)\rightarrow R$   ,  $f\left(x\right)=x\ln x$  cu proprietatea  $F\left(1\right)=\frac{8}{9}$  este:

•  $\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{2}+\frac{41}{36}$  

•  $\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+\frac{41}{36}$  

•  $\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C$  

•  $\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{2}+\frac{8}{9}$  

O primitivă a funcției  $f:\left(5,\infty\right)\rightarrow R$  ,  $f\left(x\right)=\frac{x}{x^2+2020x}$  este:

•  $\frac{1}{2020}$  

•  $\ln\left(x+2020\right)+\frac{1}{2020x}$  

•  $\ln\left(x+2020\right)$  

•  $\ln\left(x+\frac{1}{2020}\right)$  

Mulțimea primitivelor funcției  $f:\left(5,\infty\right)\rightarrow R$ ,  $f\left(x\right)=\frac{x}{x^2-6x+5}$  este egală cu:

•  $\int_{ }f\left(x\right)dx$  

•  $\frac{1}{5}\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{5}\ln\left(x-5\right)+C$  

•  $-\frac{1}{5}\ln\left(x-1\right)+\frac{1}{5\ln\left(x-5\right)}+C$  

•  $\frac{1}{5}\ln\left(\frac{x-5}{x-1}\right)+C$  

 $\int\left(\frac{x^5+2x^4+2x^2-x}{x^3+x}\right)dx$  este:

• o integrală nedefinită

• egală cu  $\ln\left(x^5+2x^4+2x^2-x\right)$  

• egală cu  $\frac{x^3}{3}+x^2-1+C$  

• integrala unei funcții raționale

 $\int_{ }^{ }\left(x^2-1\right)\left(x^3-3x+1\right)^5dx$  este egală cu:

• integrala definită a unui produs de  funcții polinomiale

•  $\frac{\left(x^3-3x+1\right)^6}{18}$  , pentru  $C=0$  

• integrala nedefinită a unui produs de  funcții polinomiale

•  $\frac{\left(x^3-3x+1\right)^6}{18}+C$  

Selectați afirmațiile false:

• Dacă există o primitivă G, atunci există o infinitate de primitive care diferă de G printr-o constantă arbitrară.

• Operația de determinare a primitivei unei funcții se numește derivare.

• Integrala nedefinită este o mulțime finită de funcții.

• Dacă se cunoaște o primitivă a unei funcții pe un interval, atunci orice altă primitivă se obține prin adaugarea unei constante reale.

Selectați afirmațiile adevărate:

• Funcția polinomială este o funcție rațională simplă.

• Orice funcție continuă $g:I\rightarrow R,\ I$ interval, admite primitive pe I.

• Un mod de a arăta că o funcție admite primitive pe un interval este de a o scrie ca o combinație liniară de funcții care admit primitive pe acest interval.

• O condiție necesară ca o funcție să aibă primitive pe o mulțime I este ca aceasta să aibă proprietatea lui Darboux.

 $\int_{ }^{ }\left(\frac{1}{x^2+2x+3}\right)dx$  este egală cu:

•  $\ln\left(x+1\right)^2+C$  

•  $\frac{1}{2}ar\operatorname{ctg}\left(\frac{x+1}{2}\right)+C$  

•  $\ln\left(x^2+2x+3\right)+C$  

•  $\frac{1}{\sqrt{2}}ar\operatorname{ctg}\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)+C$  

Selectați afirmațiile adevărate:

• $\int_{ }^{ }\left(\frac{1}{\sqrt{x^2-2x+2}}\right)dx=\ln\left(x-1+\sqrt{\left(x-1\right)^2+1}\right)+c$

• $\int_{ }^{ }\left(\frac{e^x}{e^{2x}+1}\right)dx=ar\operatorname{ctg}e^x+c;\ \ \ \ x\epsilon R$

• $\int_{ }^{ }\left(\frac{1}{x\left(1+\ln x\right)^3}\right)dx=-\frac{1}{2\left(1+\ln x\right)^2}+C;\ x\epsilon\left(1,\infty\right)$

• $\int_{ }^{ }\left(\frac{x}{\cos^2x}\right)dx=xtgx+\ln\left(\cos x\right)+C;\ x\epsilon\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$