Första och andra derivata

Om första derivata är positiv på ett intervall, alltså

 $f'\left(x\right)>0$  , då

• är funktionen  $f\left(x\right)$  växande där, är på väg upp

• är funktionen  $f\left(x\right)$  avtagande där, är på väg ner

• är funktionen  $f\left(x\right)$  konkav där,  krökar sig neråt

• är funktionen  $f\left(x\right)$  konvex där, krökar sig uppåt

• är funktionen   $f\left(x\right)$  ovanför x-axeln

Answer explanation

 $f\left(x\right)\$  ger position, hur högt man är i y-led
(positivt = ovanför x-axeln, negativ= under x-axeln)

 $f'\left(x\right)$  ger lutning, vart är vi på väg
(positivt = på väg upp, negativt = på väg ner)

 $f''\left(x\right)$  ger krökning
(positivt = krökar sig uppåt, negativt =krökar sig neråt)

Om första derivata är negativ på ett intervall, alltså

 $f'\left(x\right)<0$  , (minus i teckentabellen) då

• är funktionen  $f\left(x\right)$  växande där, är på väg upp

• är funktionen  $f\left(x\right)$  avtagande där, är på väg ner

• är funktionen  $f\left(x\right)$  konkav där,  krökar sig neråt

• är funktionen  $f\left(x\right)$  konvex där, krökar sig uppåt

• är funktionen  $f\left(x\right)$  under x-axeln

Answer explanation

 $f\left(x\right)\$  ger position, hur högt man är i y-led
(positivt = ovanför x-axeln, negativ= under x-axeln)

 $f'\left(x\right)$  ger lutning, vart är vi på väg
(positivt = på väg upp, negativt = på väg ner)

 $f''\left(x\right)$  ger krökning
(positivt = krökar sig uppåt, negativt =krökar sig neråt)

Om första derivata är positiv på ett intervall, alltså

 $f'\left(x\right)>0$  (plus i tecken tabellen), då

• är funktionen  $f\left(x\right)$  växande där, är på väg upp

• är funktionen  $f\left(x\right)$  avtagande där, är på väg ner

• är funktionen  $f\left(x\right)$  konkav där,  krökar sig neråt

• är funktionen  $f\left(x\right)$  konvex där, krökar sig uppåt

Answer explanation

 $f\left(x\right)\$  ger position, hur högt man är i y-led
(positivt = ovanför x-axeln, negativ= under x-axeln)

 $f'\left(x\right)$  ger lutning, vart är vi på väg
(positivt = på väg upp, negativt = på väg ner)

 $f''\left(x\right)$  ger krökning
(positivt = krökar sig uppåt, negativt =krökar sig neråt)

Om andra derivata är positiv på ett intervall, alltså

 $f''\left(x\right)>0$  (plus i tecken tabellen), då

• är funktionen  $f\left(x\right)$  växande där, är på väg upp

• är funktionen  $f\left(x\right)$  avtagande där, är på väg ner

• är funktionen  $f\left(x\right)$  konkav där,  krökar sig neråt

• är funktionen  $f\left(x\right)$  konvex där, krökar sig uppåt

Answer explanation

 $f\left(x\right)\$  ger position, hur högt man är i y-led
(positivt = ovanför x-axeln, negativ= under x-axeln)

 $f'\left(x\right)$  ger lutning, vart är vi på väg
(positivt = på väg upp, negativt = på väg ner)

 $f''\left(x\right)$  ger krökning
(positivt = krökar sig uppåt, negativt =krökar sig neråt)

Om andra derivata är negativ på ett intervall, alltså

 $f''\left(x\right)<0$  (minus i tecken tabellen), då

• är funktionen  $f\left(x\right)$  växande där, är på väg upp

• är funktionen  $f\left(x\right)$  avtagande där, är på väg ner

• är funktionen  $f\left(x\right)$  konkav där,  krökar sig neråt

• är funktionen  $f\left(x\right)$  konvex där, krökar sig uppåt

Answer explanation

 $f\left(x\right)\$  ger position, hur högt man är i y-led
(positivt = ovanför x-axeln, negativ= under x-axeln)

 $f'\left(x\right)$  ger lutning, vart är vi på väg
(positivt = på väg upp, negativt = på väg ner)

 $f''\left(x\right)$  ger krökning
(positivt = krökar sig uppåt, negativt =krökar sig neråt)

Om första derivata är noll i en punkt där   $x=3$  , alltså  $f'\left(3\right)=0$  då är 

•  $x=3$  funktionens  extrempunkt eller en terrasspunkt, man vet inte vilken

•  $x=3\$  funktionens inflexionspunkt om derivatan byter tecken där

•  $x=3$  funktionens nollställe, grafen korsar x-axeln där x är tre

Answer explanation

 $f\left(x\right)=0$   ger nollställe
 $f'\left(x\right)=0$  ger stationär punkt (min eller max eller terrass)
 $f''\left(x\right)=0$  ger inflexionspunkt om den byter tecken där

Om andra derivata är noll i en punkt där   $x=3$  , alltså  $f''\left(3\right)=0$  då är 

•  $x=3$  funktionens  extrempunkt eller en terrasspunkt, man vet inte vilken

•  $x=3$  funktionens inflexionspunkt om andra derivatan byter tecken där

•  $x=3$  funktionens nollställe, grafen korsar x-axeln där x är tre

Answer explanation

 $f\left(x\right)=0$   ger nollställe

 $f'\left(x\right)=0$  ger stationär punkt (min eller max eller terrass)

 $f''\left(x\right)=0$  ger inflexionspunkt om den byter tecken där

Om funktionen är noll i en punkt där   $x=3$  , alltså  $f\left(3\right)=0$  då är 

•  $x=3$  funktionens  extrempunkt eller en terrasspunkt, man vet inte vilken

•  $x=3$  funktionens inflexionspunkt om andra derivatan byter tecken där

•  $x=3$  funktionens nollställe, grafen korsar x-axeln där x är tre

Answer explanation

 $f\left(x\right)=0$   ger nollställe

 $f'\left(x\right)=0$  ger stationär punkt (min eller max eller terrass)

 $f''\left(x\right)=0$  ger inflexionspunkt om den byter tecken där

Om man vet att det är en stationär punkt, derivatan är noll och att funktionen krökar sig neråt då kan man dra slutsatsen att denna punkt är en

Om man vet att det är en stationär punkt, derivatan är noll och att funktionen krökar sig uppåt då kan man dra slutsatsen att denna punkt är en