Ma 3: rep 9 (extremvärdesproblem och konkav konvex)

Du ser en andragradsfunktion  $f\left(x\right)$  .
Vilka påståenden stämmer?

• Funktionen  $f\left(x\right)$   är konkav på hela sin definitionsmängd, eftersom den alltid är under tangenten

•  $f''\left(x\right)<0$  för alla x

•  $f'\left(4\right)=0\$  och  $f''\left(4\right)<0$  

• Funktionen  $f\left(x\right)$   är avtagande på hela sin definitionsmängd, eftersom den har en maxpunkt 

•  $f\left(4\right)=3$  

Answer explanation

 $f\left(x\right)\$  = läge

 $f'\left(x\right)$  = lutning
positiv = funktionen på väg upp
negativ = funktionen på väg ner
noll = funktionen tar en paus (kan vara max/min/terrass)

 $f''\left(x\right)$  = krökning
positiv = funktionen krökar sig uppåt, är över tangenten (konvex)
negativ = funktionen krökar sig neråt, är under tangenten (konkav)
noll = kan vara olika saker, betyder inget i sig, måste undersökas mer!!!

Du ser en andragradsfunktion $f\left(x\right)$ .
Vilka påståenden stämmer?

• Funktionen $f\left(x\right)$ är konkav på hela sin definitionsmängd, eftersom den alltid är under tangenten

• $f'\left(x\right)<0$ för alla x

• Funktionen $f\left(x\right)$ är växande på intervallet $-\infty<x\le4$

• $f'\left(100\right)<0$

• Funktionens största värde är 3

Answer explanation

$f\left(x\right)\$ = läge

$f'\left(x\right)$ = lutning
positiv = funktionen på väg upp
negativ = funktionen på väg ner
noll = funktionen tar en paus (kan vara max/min/terrass)

$f''\left(x\right)$ = krökning
positiv = funktionen krökar sig uppåt, är över tangenten
negativ = funktionen krökar sig neråt, är under tangenten
noll = kan vara olika saker, betyder inget i sig!!!

• I en inflexionspunkt är andraderivata noll och byter tecken

• I en inflexionspunkt är andra derivata noll och det spelar ingen roll om den byter tecken eller ej

• På bilden är det punkten C som är en inflexionspunkt

• I en inflexionspunkt är både första och adnra derivata noll

Answer explanation

Det är viktigt att man undersöker om andra derivata byter tecken där den är noll, annars är det inte en inflexionspunkt.

Du ser en tredjegradsfunktion $f\left(x\right)$ .
Vilka påståenden stämmer?

x(A) betyder x-koordinaten för punkten A 

• x=x(C) är en inflexionspunkt för f(x)

• x=x(C) är en terrasspunkt för f(x)

• x=x(A) är ett nollställe för f(x)

• x=x(B) och x=x(D) är extrempunkter för f(x)

Vilka påståenden stämmer?

•  $f'\left(b\right)=0$  

•  $f''\left(b\right)>0$  

•  $f''\left(c\right)=0$  

•  $f\left(a\right)=0$  

•  $f''\left(c\right)>0$  

 $f'\left(x\right)=0$  

Du löser ekvationen och får lösningarna  $x_{1,2}=2$  och  $x_3=5$  

Vilka påståenden stämmer?

•  $x=2$  är terrasspunkten hos  $f\left(x\right)$  eftersom nollstället är dubbelt
  

•  $f'\left(x\right)$  byter inte tecken i  $x=2$  eftersom det är ett dubbelt nollställe

•  $x=5$  är en maxpunkt

•  $x=5$  är en minpunkt

Answer explanation

Dubbla nollställen ger garanterat terrasspunkter men man vet inte om enkla nollställen är max eller min. Man måste antingen undersöka andra derivatan eller göra teckentabell.

 $f'\left(3\right)=0$  och  $f''\left(3\right)=0$  

•  $x=3$  är en terrasspunkt

•  $x=3$  är en inflexionspunkt

•  $x=3$  är någon slags stationärpunkt, men eftersom andra derivata också är noll, måste man göra teckentabell för att ta reda på sorten

•  $x=3$  är en minpunkt

•  $x=3$  är en maxpunkt