Interpolasi

Diberikan tiga titik $\left(x,y\right)\in\ \left\{\left(1,1\right),\left(2,4\right),\left(3,8\right)\right\}$ 

Manakah fungsi  $f\left(x\right)$  yang menginterpolasi ketiganya?

•  $f\left(x\right)=8\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(3-1\right)\left(3-2\right)}+4\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{\left(2-1\right)\left(2-3\right)}+1\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{\left(1-2\right)\left(1-3\right)}$  
  

•  $f\left(x\right)=2^x$  

•  $f\left(x\right)=1\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(3-1\right)\left(3-2\right)}+4\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{\left(2-1\right)\left(2-3\right)}+8\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{\left(1-2\right)\left(1-3\right)}$  

•  $f\left(x\right)=\lfloor3.5x\rfloor-2$  

Ingat bahwa derajat dari semua polinomial adalah pangkat terbesar $d$  sehingga koefisien  $x^d$  tidak nol. Sebagai contoh, derajat dari polinomial  $1+0x+3x^2+0x^3-x^4+0x^5$  adalah 4.

Fungsi  $M\left(x\right)=\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)+2\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)$  akan diinterpolasi pada titik  $x_0=-2,x_1=-1,x_2=0,x_3=1,x_4=2$  . Dengan kata lain ada lima titik data  $\left(x_0,y_0\right),\dots,\left(x_4,y_4\right)$  dengan  $y_i=M\left(x_i\right)$  yang akan diinterpolasi dengan suatu polinomial. 

Manakah pernyataan yang benar? 

• Ada polinomial berderajat 4 yang melalui kelima titik tersebut.

• Ada polinomial berderajat 3 yang melalui kelima titik tersebut.

• Ada polinomial berderajat 2 yang melalui kelima titik tersebut.

• Ada polinomial berderajat 5 yang melalui kelima titik tersebut.

Fungsi  $M\left(x\right)=\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)+2\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)$  akan diinterpolasi pada titik  $x_0=-2,x_1=-1,x_2=0,x_3=1,x_4=2$  . Dengan kata lain ada lima titik data  $\left(x_0,y_0\right),\dots,\left(x_4,y_4\right)$  dengan  $y_i=M\left(x_i\right)$  yang akan diinterpolasi dengan suatu polinomial berbentuk  $p\left(x\right)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$  . Manakah pernyataan yang benar?

•  $a_0=2$  
  

•  $a_1=1.333...$  
  

•  $a_2=-2.333...$  
  

•  $a_4=0.333...$  
  

Fungsi  $M\left(x\right)=\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)+2\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)$  akan diinterpolasi pada titik  $x_0=-2,x_1=-1,x_2=0,x_3=1,x_4=2$  . Misalkan interpolasinya adalah suatu polinomial berbentuk  $p\left(x\right)=b_0+b_1\left(x-x_0\right)+b_2\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)+b_3\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)+b_4\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)$  . Manakah pernyataan yang benar?

•  $b_0=-2$  
  

•  $b_1=1$  
  

•  $b_2=1$  
  

•  $b_4=1$  
  

Fungsi  $N\left(x\right)=e^x+e^{-x}$  akan diinterpolasi pada tiga titik  $x_0=-1,x_1=0,x_2=1$  dengan suatu polinomial  $p\left(x\right)=a_0+a_1x+a_2x^2$ .

Error interpolasi  $p\left(x\right)$  pada titik  $u$  didefinisikan dengan  $p\left(u\right)-N\left(u\right)$  (selisih prediksi dengan fungsi sebenarnya).

Manakah pernyataan yang benar?

• Error interpolasi di titik 0 adalah 0.

• Error interpolasi di titik -1 adalah 0.

• Error interpolasi di titik 1 adalah 0.

Fungsi  $N\left(x\right)=e^x+e^{-x}$  akan diinterpolasi pada tiga titik  $x_0=-1,x_1=0,x_2=1$  dengan suatu polinomial  $p\left(x\right)=a_0+a_1x+a_2x^2$ .

Error interpolasi  $p\left(x\right)$  pada titik  $u$  didefinisikan dengan  $p\left(u\right)-N\left(u\right)$  (selisih prediksi dengan fungsi sebenarnya).

Hitung eror interpolasi di titik  $u=0.5$  . Tuliskan jawaban yang akurat tiga angka dibelakang koma dalam format 0.abc dengan a, b, c adalah digit basis 10.

Fungsi  $N\left(x\right)=e^x+e^{-x}$  akan diinterpolasi pada tiga titik  $x_0=-1,x_1=0,x_2=1$  dengan suatu polinomial  $p\left(x\right)=a_0+a_1x+a_2x^2$ .

Besarnya error dari interpolasi fungsi di titik  $u$  tidak akan lebih besar dari
 $\frac{\left|N^{\left(n\right)}\left(\eta\right)\right|}{n!}\left|\left(u-x_0\right)\left(u-x_1\right)...\left(u-x_{n-1}\right)\right|$  dengan  $n=3$  banyak titik data dan  $x_0<x_1<...<x_{n-1}$  adalah titik-titik datanya, dan  $\eta\in\left[x_0,x_{n-1}\right]$  adalah suatu nilai (yang tidak diketahui) di antara titik-titik interpolasinya.
Berapakah nilai terbesar dari  $\left|N^{\left(n\right)}\left(\ \eta\right)\right|$  yang mungkin terjadi untuk  $\eta\in\left[x_0,x_{n-1}\right]?$   [Turunan ke-(n+1) dari fungsi N(x).]

•  $e-\frac{1}{e}$  

•  $e+\frac{1}{e}$  

•  $1$  

•  $e$  

Fungsi  $N\left(x\right)=e^x+e^{-x}$  akan diinterpolasi pada tiga titik  $x_0=-1,x_1=0,x_2=1$  dengan suatu polinomial  $p\left(x\right)=a_0+a_1x+a_2x^2$ .

Besarnya error dari interpolasi fungsi di titik  $u$  tidak akan lebih besar dari
 $\frac{\left|N^{\left(n\right)}\left(\eta\right)\right|}{n!}\left|\left(u-x_0\right)\left(u-x_1\right)...\left(u-x_{n-1}\right)\right|$  dengan  $n=3$  banyak titik data dan  $x_0<x_1<...<x_{n-1}$  adalah titik-titik datanya, dan  $\eta\in\left[x_0,x_{n-1}\right]$  adalah suatu nilai (yang tidak diketahui) di antara titik-titik interpolasinya.
Misalkan  $T$  nilai terbesar dari  $\left|N^{\left(n\right)}\left(\ \eta\right)\right|$  yang mungkin terjadi untuk  $\eta\in\left[x_0,x_{n-1}\right]$  . Berapakah  $\frac{T}{n!}\left|\left(u-x_0\right)...\left(u-x_{n-1}\right)\right|$  untuk  $u=0.5$  ?

• 0.1467

• 0.1567

• 0.1667

• 0.1767

Masukkan NPM Anda.