Trigonometry to show

Desde un punto del suelo a 45m de la base de una palmera, se observa su parte más alta con un ángulo de elevación $\alpha$ . Una persona afirma que si el observador camina 9 metros hacia la palmera, la tangente del nuevo ángulo  $\alpha'\$ , será  $\frac{5}{6}$ . La afirmación de la persona es     

• incorrecta, porque el cociente que define la tangente del ángulo  $\alpha'$ , es  $\frac{30m}{45m}$ que es igual a $\frac{2}{3}$ . 

• incorrecta, porque la tangente del ángulo $\alpha'$ es igual a  $\frac{\left(45-9\right)m}{30m}$ , es decir,  $\frac{6}{5}$ .   

• correcta, porque la tangente del nuevo ángulo $\alpha'$ es el cociente entre el cateto adyacente y el cateto opuesto al ángulo.

• correcta, porque la tangente del nuevo ángulo es igual a   $\frac{30m}{\left(45-9\right)m}$ siendo este resultado igual al de la afirmación. 

• Incorrecta porque la tangente de un cualquier ángulo siempre debe dar un número mayor que $1$ , y $\frac{5}{6}$ es menor que $1$ .  

Para determinar el ancho de un río, desde una roca una persona tomó las medidas a las dos orillas, como muestra la figura y se obtuvo:  $r=4m$ ,  $q=6m$  y  $\alpha=115\degree$ . Con éstos la persona determinó que  $p=12m$ . Este resultado es incorrecto porque 

Ayudas: $Teorema\ del\ \cos:\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$   $Teorema\ del\ seno:\ \frac{a}{sen\alpha}=\frac{b}{sen\beta}=\frac{c}{sen\theta}$  

•  $p$ debe tener una longitud menor o igual a 10 metros. 

• el cuadrado de $p$ es mayor que la suma de los cuadrados de  $q$  y $r$  .  

• la persona supone que el triángulo de la figura es rectángulo.

•  $\alpha\$  debe ser menor a la medida de un ángulo recto.
  

Se quiere calcular la distancia entre dos puntos, 𝑃 y 𝑄 , pero hay un muro entre ellos. Con una cinta métrica, se comprueba que la distancia de 𝑃 a cierto punto 𝑅 es 10m y la distancia de 𝑄 a 𝑅 es 13m. También se sabe que el ángulo formado por los segmentos 𝑃𝑅 y 𝑄𝑅 es 60°. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a la distancia entre 𝑃 y 𝑄?

Ayudas:

 $Teorema\ \cos:\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$  
 $Teorema\ del\ seno:\ \frac{a}{sen\alpha}=\frac{b}{sen\beta}=\frac{c}{sen\theta}$  

•  $\frac{13\sqrt{3}}{2}$  

•  $\sqrt{139}$  

•  $5\sqrt{3}$  

•  $\sqrt{325}$  

•  $\sqrt{119}$  

Según el triángulo que se muestra en la figura, la tangente del ángulo $\alpha$ es 

•  $\frac{2}{t}$  

•  $\frac{\sqrt{4-t^2}}{t}$  

•  $\sqrt{4+t^2}$  

•  $\frac{\sqrt{4+t^2}}{t}$  

Si $sen\theta=\frac{1}{3}$   y  $\tan\theta<0$  entonces  $\cos\theta$  es 

•  $\frac{2\sqrt{2}}{3}$  

•  $-\frac{2\sqrt{2}}{3}$  

•  $\frac{\sqrt{8}}{2}$  

•  $\frac{2}{3}$