OPERACIONES COMBINADAS

dadas las siguientes matrices, halle

2A-3B

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dado el siguiente sistema de ecuaciones:

f + g + h = 13

f – h = −2

−2f + g = 3

halle f, g y h respectivamente, a través del método de reducción

• 2, 7, 4

• 2,9,6

• 4,5,3

• 12,4,23

Answer explanation

Paso 1: Escoge dos ecuaciones y elimina una variable. Las primeras dos ecuaciones pueden sumarse para eliminar h.

Paso 2: ¡La tercera ecuación no tiene la variable h, por lo que no hay nada que eliminar! Tienes un sistema de dos ecuaciones con dos variables.

 

    2f + g = 11

  −2f + g  =  3

Paso 3: Elimina la segunda variable. Estas ecuaciones se pueden sumar para elimina

Paso 4: Resuelve la ecuación resultante para la variable faltante.

2g = 14

  g = 7

Paso 5: Usa el valor y una de las ecuaciones del sistema en el paso 3 que tenga sólo 2 variables, una de las cuales es g que ya la conoces. Resuelve la segunda variable.

 

2f + g = 11

2f + 7 = 11

2f = 4

f = 2

 

Paso 6: Usa las dos variables ya encontradas y una de las ecuaciones originales que tenga las tres variables para encontrar la tercera variable.

 

f + g + h = 13

2 + 7 + h = 13

9 + h = 13

h = 4

Paso 7: Comprueba tu respuesta.

f + g + h = 13                   f – h= - 2                 −2f + g = 3

2 + 7 + 4 = 13                 2 – 4 = - 2                −2(2) + 7 = 3

9 + 4 = 13                          -  2= - 2                 −4 + 7 = 3

13 = 13                            VÁLIDO                     3 = 3

VÁLIDO                                                           VÁLIDO

 

dadas las matrices:

halle A-B

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realice la multiplicación de las siguientes matrices:  

 

                  

• -26       37       6

  -13    34          2  

        48     -54       -12 

• 26       37       6

  -13    34          2    48     -54       12

• -13       37       6

  -17    34          6  

        48     -54       -12

Answer explanation

Multiplicamos la primera fila de la matriz A por la primera, segunda y tercera columna de la matriz B en orden, de igual forma multiplicamos la segunda y tercera fila de la matriz A por la primera, segunda y tercera columna de la matriz B.

Después de multiplicar procedemos a sumar los resultados.

C_1.1= -2 - 24= -26

C_1.2 = 10 + 27= 37

C_1.3= 0 + 6= 6

C_2.1= -5 – 8= -13

C_2.2= 25 + 9= 34

 C_2.3= 0 + 2= 2

C₃.₁= 0 + 48= 48

C_3.2= 0 – 54= -54

C_3.3= 0 – 12= -12

Realiza el siguiente ejercicio por el método de Gauss

𝒙          +𝟐𝒚     +𝟒𝒛     = 𝟑𝟓

𝟒𝒙   +𝟒𝒚     +𝒛        = 𝟑𝟒

𝟐𝒙       +𝟑𝒚     +𝟒𝒛     = 𝟒𝟐

• x=3

  y=4

  z=6

• x=4

  y=4

  z=3

• x=9

  y=4

  z=2

Answer explanation

Resolvamos el ejercicio

 𝒙         +𝟐𝒚     +𝟒𝒛     = 𝟑𝟓

 { 𝟒𝒙   +𝟒𝒚     +𝒛        = 𝟑𝟒

𝟐𝒙       +𝟑𝒚     +𝟒𝒛     = 𝟒𝟐

Utilizamos los coeficientes y los términos independientes y realizamos una matriz:

+1        +2        +4        +35

(+4      +4        +1        +34)

+2        +3        +4        +42

 

 

Necesitamos hacer ceros en los números destacados en la matriz anterior. Primeras transformaciones, deseamos realizar los ceros de la primera columna: Primer paso, transformar la segunda fila,

1.  Fila uno multiplicada por -4

 

 

-4. (+1 +2 +4 +35) = -4 -8 -16 -140

 

 

2.  Le sumo la fila 2.

 

−4        −8        −16      −140

+4        +4        +1        +34

0          −4        −15      −106

Segundo paso, transformar la tercera fila,

3.  Fila uno multiplicada por -2.

 

-2. ( +1 +2 +4 +35)= -2 -4 -8 -70

4.  Le sumo la fila 3.

 

Así, la matriz resultante sería:

−2        −4        −8        −70

+2        +3        +4        +42

0          −1        −4        −28

 

+1        +2        +4        +35

( 0        −4        −15      −106)

0          −1        −4        −28

 

 

Segundas transformaciones, deseamos realizar el ceros de la segunda columna: Para ello, sólo utilizamos la segunda y tercera fila:

1.  Fila uno se mantiene.

2.  Fila dos se mantiene.

3.  Fila tres se multiplica por -4.

-4. (0 −1  −4 −28)= (+0 +4  +16 +112)

 

 

Sumo la fila dos y tres transformadas.

0          −4        −15      −106

0          +4        +16      +112

0          0          +1        +6

De esta manera, el sistema resulta:

 

 

+1        +2        +4        +35

( 0        −4        −15      −106)

0          0          +1        +6

𝒙          +𝟐𝒚     +𝟒𝒛     = +𝟑𝟓

{          −𝟒𝒚     −𝟏𝟓𝒛   = −𝟏𝟎𝟔

+𝒛        = 𝟔

 

 

Siendo la solución:

z=+6

Sustituimos el valor de “z” en la segunda ecuación y obtenemos el valor de “y”:

 

                                                             -4y-15.+6=-106

-4y=-106+90 y=-16/-4=4 y=+4

 

Sustituimos el valor de “z” e “y” en la primera ecuación y obtenemos “x”:

x+2.(+4)+4.(+6)=+35 x=+35-8-24

x=+3

resolver el siguiente sistema de ecuaciones a través del método de Gauss Jordan:

2x + 3y + z = 1

        3x - 2y -4z = -3

        5x – y – z   =  4

• x= 1     y= -1      z= 2

• x= 2    y= -9      z= 2

• x= 1     y= 1      z= 2

Answer explanation

Aplicaremos luego el primer paso, o sea que lo anotaremos en forma matricial:

Realizado lo anterior, podemos operar con las distintas columnas y filas de la matriz para así convertirla en la matriz identidad, sin olvidar la forma del sistema:

 

Ahora debemos transformar el 2 de la primera fila de la matriz original en el 1 de la primera fila de matriz identidad. Para realizar este paso multiplicamos toda la fila 1 por el inverso de 2, o sea ½. Veamos como nos queda:

A continuación, debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad. Para lograrlo buscaremos el opuesto de los números que se encuentren por debajo del 1 de la primera columna. El opuesto de 3 será -3 y el de 5 -5. Hecho esto multiplicaremos los opuestos de estos números por cada uno de los elementos de la fila primera y estos se adicionarán a los números de sus respectivas columnas Por ejemplo en el caso de la segunda fila, se multiplicará a -3 que es el opuesto de 3, por cada uno de los elementos de la primera fila y se añadirá el resultado con el número correspondiente de la columna de la segunda fila. Veamos el ejemplo:

A medida que realicemos este procedimiento operando con las distintas filas y columnas de la matriz, observaremos como esta se transforma en el modelo de la matriz identidad. Finalizado el proceso, encontraremos finalmente en la cuarta columna los valores de las variables.