UMA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

A prova formal do Teorema Fundamental do Cálculo que temos hoje foi formulada para funções contínuas por Cauchy (1789-1857), publicada em seu “Lessons Given at the École Royale Polytechnique on the Infinitesimal Calculus” (1823). Os argumentos usados nos livros de cálculos hoje foram os mesmos usados por Cauchy, de forma elegante e útil ele uniu rigorosamente os dois principais ramos do cálculo. A importância do assunto descrito no texto para o avanço das ciências exatas é de que:

• Permite calcular derivadas indefinidas, uma vez que reduz infinitesimalmente as primitivas de funções com mais de uma sentença.

• Permite deduzir o limite de funções ditas complexas.

• Permite calcular integrais definidas, pois reduz o problema a calcular primitiva de funções.

• Permite criar ferramentas para o cálculo de áreas de superfícies não planares.

• Permite derivar sem o uso de qualquer técnica absoleta existente na antiguidade.

O método da exaustão é um método para se encontrar a área de uma figura inscrevendo se dentro dela uma sequência de polígonos cuja soma das áreas converge para a área da figura desejada. O método da exaustão é visto como:

• Um equívoco, uma vez que o método causa exaustão levando-nos a frustração por não chegarmos a área real da figura.

• Uma veracidade, uma vez que o método permite-nos a determinar com exatidão o cálculo de integrais.

• Um equívoco, uma vez que o método não é preciso no cálculo de integração.

• Um equívoco, uma vez que Eudoxo ao desenvolvê-lo tinha como fim a aproximação de valores indeterminados.

• Uma veracidade, uma vez que o método permitiu com que o cálculo se desenvolvesse ao longo dos séculos.

O cálculo infinitesimal é uma ferramenta científica e tecnológica do mais alto nível, sem dúvida a mais poderosa e eficaz para o estudo da natureza já desenvolvida pelos matemáticos. Considera-se que Newton e Leibniz o descobriram porque: (1) sintetizaram dois conceitos que hoje denominamos derivada e integral, (2) desenvolveram as ferramentas que permitem manejá-los, (3) mostraram que são conceitos inversos. A representação dos conceitos sintetizados por Newton e Leibniz são respectivamente:

• D᪲'/D᪲" ; ∫

• Dy × (Dx)¯¹ ; ∫

• Dx∞/d᪲y ; ∫∞

• D∫/d∫- ; ∮

• Dx × (Dy)¯¹ ; ⨜

Um aluno do curso de engenharia resolveu fazer desenhos no seu tempo livre e curiosamente percebeu um símbolo abordado durante as aulas de cálculo. Tal símbolo recebe o nome de:

• Sinal de Função

• Sinal de Limite

• Sinal de Integral

• Sinal de Derivada

• Sinal de L'Hôpital

A alimentação é fundamental para um bom funcionamento do organismo humano, assim, muitas vezes é necessário uma reeducação alimentar. Considere que alunos dos cursos das exatas resolveram fazer uma reeducação alimentar, sendo assim, os alimentos essenciais receitados pelo nutricionista para esses alunos são:

• Arroz parboilizado, leite semidesnatado e brócolis

• Leite desnatado, arroz integral e pão caseiro

• Iogurte, trigo integral e feijão carioca

• Arroz integral, suco natural e aveia integral

• Leite integral, quinoa e arroz integral

Qual das seguintes opções descreve corretamente a contribuição de Isaac Newton para o desenvolvimento do cálculo?

• Newton desenvolveu o cálculo diferencial para ajudar a resolver problemas na física, como a dinâmica do movimento dos corpos celestes.

• Newton inventou o cálculo diferencial e integral de forma independente de qualquer outra pessoa.

• Newton criou o cálculo integral para calcular áreas e volumes de figuras geométricas complexas.

• Newton foi o primeiro a usar a notação moderna de cálculo que usamos hoje. Não havendo outro precursor.

• Newton desenvolveu o cálculo como uma ferramenta útil e limitada para o cálculo de figuras geometricamente não planares.

Considere a charada abaixo:

Qual é o cálculo que te ajuda a encontrar o valor instantâneo de uma paixão?

Dica: começa com a letra "D", mas não é a alternativa "D".

• O cálculo diferencial, que permite calcular o limite de uma função que representa a variação das margens do amor incondicional ao longo do tempo!

• O cálculo diferencial, que permite calcular integrais de uma função que representa a variação integral da paixão ao longo do tempo!

• O cálculo diferencial, que permite calcular o limite de uma função que representa o limite de uma paixão ao longo do tempo!

• O cálculo diferencial, que permite calcular a derivada de uma função que representa a variação da intensidade da paixão ao longo do tempo!

• O cálculo diferencial, que permite calcular a derivada de uma função que representa o fim de uma paixão não correspondida ao longo do tempo!

1.Cálculo de probabilidades: o cálculo é usado para modelar fenômenos aleatórios e determinar a probabilidade de eventos específicos.

4.Criptografia: o cálculo é usado em técnicas de criptografia, como a criptografia de chave pública e a criptografia de curva elíptica, que são usadas para proteger informações confidenciais.

8.Reconhecimento de fala: o cálculo é usado para modelar e reconhecer padrões de fala, permitindo que as máquinas entendam e interpretem a linguagem humana.

A soma das alternativas verdadeiras é igual a:

• 4

• 13

• 9

• 12

• 5

No século XVII, o matemático inglês Isaac Barrow desenvolveu algumas das ideias básicas do cálculo, incluindo a noção de derivada. No entanto, foi o matemático inglês Isaac Newton e o matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz que são considerados os pais fundadores do cálculo. Sobre Leibniz é correto dizer que ele:

• Desenvolveu o teorema fundamental do cálculo, que estabelece uma relação entre derivadas e integrais.

• Desenvolveu o teorema do empuxo, que pode ser calculado através de derivadas e integrais.

• Estabeleceu que apenas haveria progressão do Cálculo se houvesse matemáticos que contribuíssem para seu avanço.

• Estabeleceu o teorema fundamental do cálculo, que durante o século XVIII já estaria em desusança pela tamanha complexidade.

• Desenvolveu a noção intuitiva de Limites, que mais tarde foi sofisticada por Newton juntamente com Laplace.

Uma curiosidade interessante sobre o cálculo é que existe um teorema chamado Teorema Fundamental do Cálculo que estabelece uma relação fundamental entre as duas principais operações do cálculo: a diferenciação e a integração. Esse teorema mostra que a integração é a operação inversa da diferenciação, e vice-versa. Isso significa que, se você conhece a derivada de uma função, pode determinar a função original por meio da integração. Esse teorema foi descoberto independentemente por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz no final do século XVII e é uma das bases do cálculo moderno. Analogamente, as operações que se comportam como as citadas no texto são:

• Soma e produto

• Adição e divisão

• Logaritimação e exponenciação

• Potenciação e fatoração

• Subtração e radiciação